AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 3 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
– 1 – i ను ప్రధాన ఆయామం విలువతోధ్రువరూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
– 1 – i = r (cos θ + i sin θ) అనుకొనుము.
అప్పుడు -1 = r cos θ, -1 = r sin θ
వర్గము చేసి కూడగా
∴ r² = 2 ⇒ r = ±√2; r = √2
– π ≤ θ < π కావున cos θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\), sin θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\) లను తృప్తిపరుచు ప్రధాన విలువ \(\frac{-3 \pi}{4}\)
∴ – 1 – i = √2 (cos(\(\frac{-3 \pi}{4}\)) + sin (\(\frac{-3 \pi}{4}\)))

ప్రశ్న 2.
(√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) అయితే a² + b² = 4 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib)

= -1 + i√3 = a + ib = a ⇒ -1, b = √3
a² + b² = (-1)² + ( √3 )² = 1 + 3 = 4

ప్రశ్న 3.
m, n లు పూర్ణాంకాలు, x = cos α + i sin α, y = cos β + i sin β అయితే x^m yⁿ + \(\frac{1}{x^m y^n}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన
x = cos α + i sin α, y = cos β + i sin β
⇒ x^m = (cos α + i sin α)^m = cos mα + i sin mα
yⁿ = (cosβ + i sinβ)ⁿ = cos nβ + i sin nβ
∴ x^m yⁿ = (cos mα + i sin mα) (cos nβ + i sin nβ)
= cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ) _______ (1)
\(\frac{1}{x^m y^n}\) = cos (mα + nβ) – i sin (mα + nβ) _______ (2)
(1) మరియు (2) లను కలుపగా
x^m yⁿ + \(\frac{1}{x^m y^n}\) = 2 cos (mα + nβ)

ప్రశ్న 4.
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 (b ≠ c) వర్గసమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 లకు ఉమ్మడి మూలము a అనుకొనుము.
α² + bα + c = 0 _________ (1)
α² + cα + b = 0 _________ (2)
(1) – (2) ⇒ (b – c)α + (c – b) = 0 ⇒ α – 1 = 0 ⇒ α = 1
(1) నుండి
1 + b + c = 0
∴ b + c + 1 = 0

ప్రశ్న 5.
x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 సమీకరణం మూలాలు 1, 2, 3, 4 అయితే a, b, c, d విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
1, 2, 3, 4 మూలాలుగా గల సమీకరణం.
= (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) = 0
⇒ (x² – 3x + 2) (x² – 7x + 12) = 0
⇒ x⁴ – 7x³ + 12x² – 3x³ + 21x² – 36x + 2x² – 14x + 24 = 0
= x⁴ – 10x³ + 35x² – 50x + 24 = 0
a = – 10, b = 35, c = – 50 మరియ d = 4

ప్రశ్న 6.
MATHEMATICS అను పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదము MATHEMATICS లో 11 అక్షరాలున్నాయి. వీటిలో 2M, 2A లు మరియు 2T లు ఉన్నాయి.
∴ MATHEMATICS పదములోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(11)!}{(2!)(2!)(2!)}\)

ప్రశ్న 7.
ఎనిమిది మంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు ఉండేలా ఎన్ని కమిటీలు ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
ఎనిమిది మంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు ముగ్గురు బాలికలను ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁸C₄ × ⁵C₃
= \(\frac{8.7 .6 .5}{4!}\).\(\frac{5.4 .3}{3!}\)
= 70 × 10 = 700.

ప్రశ్న 8.
(\(\frac{\sqrt{x}}{3}-\frac{4}{x^2}\))¹⁰విస్తరణలో స్వతంత్ర పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17 దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువులు 13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17
దత్త బిందువులను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చగా
10, 11, 11, 12, 13, 13, 16, 16, 17, 17, 18
∴ మధ్యగతం = 13 = b (అనుకొనుము)
పరమ మూల్య విలువలు
|13 – 10|, |13 – 11|, |13 – 11|, |13 – 12|, |13 – 13|, |13 – 13|, 13 – 16, 13 – 16|, |13 – 17|, |13 – 17|, |13 – 18|
= 3, 2, 2, 1, 0, 0, 3, 3, 4, 4, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\sum_{i=1}^{11}\left|x_i-b\right|}{11}\)
= \(\frac{3+2+2+1+0+0+3+3+4+4+5}{11}\) = \(\frac{27}{11}\) = 2.45

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3 అయితే పరామితులు n, p లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అంకమధ్యమము = np = 4 _____ (1)
విస్తృతి = npq = 3 _______ (2)
\(\frac{(2)}{(1)}\) ⇒ \(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
(1) నుండి
n\(\frac{1}{4}\) = 4 ⇒ n = 16
∴ పరామితులు n = 16 మరియు p = \(\frac{1}{4}\)

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P బిందువు సంకీర్ణ సంఖ్య 2 = x + iy ను సూచించినప్పుడు \(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అయితే, P బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన z = x + iy

\(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య కావున దాని వాస్తవభాగము శూన్యము.
∴ \(\frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1)^2+y^2}\) = 0
⇔ x² + y² – x – y = 0
∴ P బిందుపధ సమీకరణం x² + y² – x – y = 0

ప్రశ్న 12.
R లోని x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమానం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p హద్దులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) అనుకొనుము.
yx² – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx² + (- 3y – 1)x + (2y + p) = 0
x ∈ R ⇒ (- 3y – 1)² – 4y (2y + p) ≥ 0
⇒ 9y² + 6y + 1 – 8y² – 4py ≥ 0
y² + (6 – 4p) y + 1 ≥ 0
y ∈ R కావున
⇒ Δ ≤ 0 ⇒ (6 – 4p)² – 4.1.1 ≤ 0
⇒ 36 + 16p² – 48 – 4 ≤ 0
⇒ 16p² – 148p + 32 ≤ 0
⇒ p² – 3p + 2 ≤ 0 ⇒ (p – 1) (p − 2) ≤ 0
p = 1 లేదా p = 2 అయితే \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) వ్యవస్థితము కాదు.
∴ 1 < p < 2

ప్రశ్న 13.
2, 3, 5, 6, 8 అంకెలను ఉపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్యలు తయారుచేయవచ్చు ? వాటిలో ఎన్ని (i) 2 (ii) 3 (iii) 4 లో
భాగించబడతాయి.
సాధన:
ఇచ్చిన అంకెలు 2, 3, 5, 6, 8 అంకెలను ఉపయోగించి 4 అంకెల సంఖ్యలు ⁵P₄ = 120
i) 2తో భాగింపబడే సంఖ్యలు : ఒక సంఖ్య 2తో భాగించబడాలంటే ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. కనుక ముందుగా ఒకట్ల స్థానాన్ని (2 లేదా 6 లేదా 8) తో ‘3’ మూడు విధాలుగా నింపవచ్చు.

ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ = 24 విధాలుగా నింపవచ్చు.
∴ 2తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 3 × 24 = 72.

ii) 3తో భాగించబడే సంఖ్యలు : ఒక సంఖ్య 3తో భాగించబడటానికి ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3తో భాగించబడాలి.
మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 24, కావున వీటినుంచి 4 అంకెలను ఆ అంకెల మొత్తము 3తో భాగించబడే విధంగా 2 రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు. అవి 2, 5, 6, 8 (లేదా) 2, 3, 5, 8.
∴ 3తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్యలు = 4! + 4!
= 24 + 24 = 48

iii) 4తో భాగించబడే సంఖ్యలు : ఒక సంఖ్య 4తో భాగించబడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలతో ఉన్న రెండంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి. కనుక ఈ రెండు స్థానాలను 28, 32, 36, 52, 56, 68 అని సంఖ్యలతో 6 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన రెండు స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలతో ³P₃ = 6 విధాలుగా నింపవచ్చు.

∴ 4తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 6 × 6 = 36.

ప్రశ్న 14.
ఒక ఉపాధ్యాయుడు పదిమంది విద్యార్థులను పార్కుకు తీసుకొని వెళ్ళాలి. ఒక్కొక్కసారి ముగ్గురు విద్యార్థుల చొప్పున తీసుకొని వెళ్ళగలడు. కాని ఏ ముగ్గురు విద్యార్థుల బృందాలైన ఒకసారి మాత్రమే తీసుకొని వెళతాడు.
(i) ప్రతి విద్యార్థి ఎన్నిసార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉంది.
(ii) ఉపాధ్యాయుడు ఎన్నిసార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉంది.
సాధన:
i) ఒక విద్యార్థి పార్కుకు వెళ్ళుటకు మిగిలిన 9 మంది విద్యార్థుల నుంచి ఇద్దరిని ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య ⁹C₂ = 36
∴ ప్రతి విద్యార్థి 36 సార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉంది.

ii) ఉపాధ్యాయుడు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశాల సంఖ్య
= 10 మంది విద్యార్థుల నుంచి ముగ్గురు విద్యార్థులను ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య 10 = ¹⁰C₃ = 120.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) విస్తరణలో x⁴ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) = \(\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ 3x = A (x + 1) + B (x – 2)
x = 2 వ్రాయగా
3(2) = A (2 + 1)
6 = 3A ⇒ A = 2
x = -1 వ్రాయగా
3(-1) = B(- 1 – 2) ⇒ – 3 = – 3B ⇒ B = 1
∴ \(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) = \(=\frac{2}{x-2}+\frac{1}{x+1}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు సంభావ్యతకి రెట్టింపు అయితే, A, B, C లు ఆ పందెం గెలువగల సంభావ్యతలేవి ?
సాధన:
A, B, C గుర్రాలు రేసుగెలిచే సంభావ్యతలు A, B, C అనుకోండి.
ఇచ్చిన P(A) 2P(B) మరియు P(B) = 2P(C)
∴ P(A) = 2P(B) = 2[2P(C)] = 4 P(C)
A ∪ B ∪ C = S మరియు A, B, C పరిస్పరం వివర్జితాలు
P(A∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
⇒ P(S) = 4P(C) + 2P(C) + P(C) ⇒ 1 = 7P(C)
∴ P(C) = \(\frac{1}{7}\)
P(A) = 4P(C) = 4 x \(\frac{1}{7}\) = \(\frac{4}{7}\)
P(B) = 2P(C) = 2 x \(\frac{1}{7}\) = \(\frac{2}{7}\)
∴ P(A) = \(\frac{4}{7}\), P(B) = \(\frac{2}{7}\) మరియు P(C) = \(\frac{1}{7}\)

ప్రశ్న 17.
ఒకయాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ
P(A ∩B^c ∩ C^c) = \(\frac{1}{4}\)
P(A^c ∩ B ∩ C^c) = \(\frac{1}{8}\), P(A^c ∩ B^c ∩ C^c) = \(\frac{1}{4}\) అయినప్పుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(x – 1)ⁿ = xⁿ, (n ధనపూర్ణాంకం) సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చిన (x – 1)ⁿ = xⁿ
x – 1 = x.1^1/n ⇒ x – 1 = x (cos 0 + i sin 0)^1/n

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 5x³ + 5x² + 5x – 6 = 0 సమీకరణం రెండు మూలాల లబ్ధం 3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణము x⁴ – 5x³ + 5x² + 5x – 6 = 0
దత్త సమీకరణము మూలాలు α, β, γ, δ అనుకొనుము.
అప్పుడు S₁ = \(\frac{-(-5)}{1}\) ⇒ α + β + γ + δ = 5 _______ (1)
S₂ = 5 ⇒ αβ+ αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = 5 ______ (2)
S₃ = -5 ⇒ αβγ + βγδ + γδα + δαβ = -5 ________ (3)
S₄ = -6 ⇒ αβγδ = -6 ______ (4)
దత్తాంశము నుండి రెండు మూలాల లబ్ధానికి ఫో γδ = 3 _______ (5)
అనుకొనుము.
(4) నుండి 3 αβ = -6 ⇒ αβ = -2 _______ (6)
(3) నుండి -2γ + 3β + 3α – 2δ = -5
⇒ 3(α + β) – 2(γ + δ) = -5 _______ (7)
(1) మరియు (7) ల నుండి α + β = 1 ______ (8)
γ + δ = 4 _______ (9)
(α – β)² = (α + β)² – 4 αβ
= 1 – 4(-2) = 9
∴ α – β = ± 3 _______ (10)
(8) మరియు (10) లను సాధించగా
α = 3 మరియు β = -1. (లేదా) a = -1 మరియు β = 2
ఇదేవిధంగా (γ – δ)² = (γ + δ)² – 5γδ
= 16 – 4(3) = 4
γ – δ = ±2 _______ (11)
(9) మరియు (11) లను సాధించగా
γ = 3 మరియు δ = – 1 (లేదా) γ = -1 మరియు δ = 3
ఇచ్చిన సమీకరణమునకు మూలాలు 2, -1, 3, 1

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధనపూర్ణాంకం అయితే, (7 + 4√3 ) n సంఖ్యకు పూర్ణాంకభాగం, భిన్న భాగాలు వరుసగా 1, f అయితే
(i) I ఒక బేసి పూర్ణాకం
(ii) (I + f) (1 – f) = 1 అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం (7 + 4√3)ⁿ = I + f, I ఒక పూర్ణాంకం మరియు 0 < f < 1
F = (7 + 4 √3)ⁿ అనుకొనుము.
ఇప్పుడు 6 < \(\sqrt{48}\) < 7 ⇒ – 7 < – \(\sqrt{48}\) < – 6
⇒ 0 < 7 – \(\sqrt{48}\) < 1 ⇒ 0 < (7 – \(\sqrt{48}\) )ⁿ < 1
∴ 0 < F < 1
I + f + F = (7 + 4√3)ⁿ + (7 – 4√3)ⁿ
= 2 [7ⁿ + ⁿC₂ 7^{n – 2} (4√3)² + ⁿC₄ 7^{n – 4} (4√3)⁴ + …………………….]
(k ఒక ధనపూర్ణాంకం)
∴ f + F = 1 కూడా ఒక పూర్ణాంకం
0 < f < 1, 0 < F < 1 కనుక 0 < f + F < 2
∴ f + F = 1

i) I + f + f = 2k కావున
⇒ I + 1 = 2k
⇒ I = 2k – 1
∴ I ఒక బేసి పూర్ణాంకం

ii) (I + F) (I – F) = (I + F) f
= (7 + 4√3)ⁿ (7 – 4√3)ⁿ
= [(7)² – (4√3)²]ⁿ
= (49 – 48)ⁿ = 1
∴ (I + F) (I – F) = 1

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3 .5}{5.10 .15}\) + … ∞ అయితే 3x² + 6x విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= (1 – x)^-p/q
ఇచ్చట p = 1, q = 2 మరియు \(\frac{x}{q}\) = \(\frac{1}{5}\) అని తెలియును.
⇒ \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{1}{5}\) ⇒ x = \(\frac{2}{5}\)
∴ 1 + x = (1 – \(\frac{2}{5}\))^-1/2 = \(\frac{3}{5}\))^-1/2 = \(\frac{5}{3}\))^-1/2
⇒ (1 + x)² = \(\frac{5}{3}\)
⇒ 3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x – 2 = 0
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

\(\frac{N}{2}\) = \(\frac{1000}{2}\) = 500వ పరిశీలన 35 – 40 తరగతి అంతరంలో కలదు.
∴ మధ్యగతం = L + [{\(\frac{N}{2}\) – P.C.F} / f]i
= 35 + [ \(\frac{500-420}{160}\) ] (5)
= 35 + 2.5 = 37.5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యపు విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σ f_i | x_i – మధ్యగతం|
= \(\frac{1}{1000}\) (8175) = 8.175

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, …………E_n లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(E_i) > 0 (i = 1, 2, 3, …….., n) యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక ద్విపద చలరాశి మధ్యమం, విస్తృతిల మధ్యభేదం \(\frac{5}{9}\) అయితే, ప్రయోగాన్ని 5 సార్లు నిర్వహించినప్పుడు 2 సార్లు సఫలం అయ్యే ఘటన సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X, n, p పరామితులతో ద్విపద విభాజనాన్ని అనుసరిస్తుంది.
ఇచ్చట n = 5
మధ్యమము, విస్తృతుల భేదం = \(\frac{5}{9}\)
⇒ np – npq = \(\frac{5}{9}\)
⇒ np(1 – q) = \(\frac{5}{9}\), ∵ p + q = 1
⇒ 5 p.p = \(\frac{5}{9}\) ⇒ P² = \(\frac{1}{9}\)
⇒ p = \(\frac{1}{3}\) ; p > 0 కావున
P(X = 2) = ⁵C₂ q^{5 – 2}q²
= 10. (\(\frac{2}{3}\))³(\(\frac{1}{3}\))²
= 10 × \(\frac{8}{27}\).\(\frac{1}{9}\) = \(\frac{80}{243}\)
∴ సఫలాలు 2 అయ్యే ఘటన సంభావ్యత = \(\frac{80}{243}\)