AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 2 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24i యొక్క గుణక విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a + ib సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క గుణకార విలోమము = \(\frac{a-i b}{a^2+b^2}\)
7 + 24i యొక్క గుణకార విలోమము = \(\frac{7-24 i}{7^2+24^2}\) = \(\frac{7-24 i}{49+576}\) = \(\frac{7-24 i}{625}\)

ప్రశ్న 2.
(1 – i) (2 – i) (3 – i) …… (1 – ni) = x – iy అయితే 2.5.10 … (1 + n²) = x² + y² అని చూపుము.
సాధన:
ఇచ్చిన (1 – i) (2 – i) (3 – i) …. (1 – xi) = x – iy
⇒ |(1 – i)(2 – i) (3 – i) ….. (1 – ni) | = | x – iy)
⇒ |1 – l||2 – i||3 – l|….. | 1 – ni|=|x – ly |

⇒ 2.5.10 …… (1 + n²) = x² + y²

ప్రశ్న 3.
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు,, x = cis A, y = cis B, Z = cis అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cis A, y = cis B మరియు Z = cis C అగునట్లు A, B, C లు త్రిభుజకోణాలు
∴ A + B + C = 180° _____ (1)
⇒ xyz = cis A. cis B. cis c (A + B + C)
= ciss (A + B + C) = cis π
= cos π + i sin π = – 1 + i(0) = −1
∴ xyz = -1

ప్రశ్న 4.
2x – 7 – 5x² సమాసానికి గరిష్ఠ లేదా కనిష్ఠ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన 2x – 7 – 5x² దత్త బహుపదిని ax² + bx + c తో పోల్చగా
a = -5 < 0, b = 2, c = -7
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\) = \(\frac{4(-5)(-7)-(2)^2}{4(-5)}\)
= \(\frac{140-4}{-20}\) = \(\frac{-136}{20}\) = \(\frac{-34}{5}\)

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 మూలాలు 1, 1, α అయితే α ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x³ – 6x² + 9x – 4 = 0
మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-6)}{1}\)
1 + 1 + α = 6 ⇒ α = 4

ప్రశ్న 6.
⁵⁶P_{r + 6} : ⁵⁴P^{r + 3} = 30800 1 అయితే r ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ⁵⁶P_{r + 6} : ⁵⁴P^{r + 3} = 30800 : 1
⁵⁶P_{r + 6} : ⁵⁴P^{r + 3}
⇒ \(\frac{56!}{(56-r-6)!}\) = 30800 \(\frac{54!}{(54-r-3)!}\)
⇒ \(\frac{(56)(55)}{(50-r)!}\) = 30800 \(\frac{1}{(51-r)!}\)
⇒ 1 = \(\frac{10}{51-r}\)
⇒ 51 – r = 10 ⇒ r = 41

ప్రశ్న 7.
²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r)\)C₃ సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన:
²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r)\)C₃ = ²⁵C₄ + ²⁵C₃ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁶C₄ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁷C₄ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁸C₄ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃ = ²⁹C₄ + ²⁹C₃ = ³⁰C₄
²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r)\)C₃ = ³⁰C₄

ప్రశ్న 8.
(1 + x)¹⁸ ద్విపద విస్తరణలో (2r + 4), (r – 2) పదాల గుణకాలు సమానమయితే r విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
(1 + x)¹⁸ విస్తరణలో (2r + 4) వ పదం గుణకము = ¹⁸C_{r + 3}
(1 + x)¹⁸ విస్తరణలో (r – 2) వ పదం గుణకము = ¹⁸C_{r – 3}
దత్తాంశము నుండి ¹⁸C_{2r + 3} = ¹⁸C_{r – 3}
⇒ 2r + 3 = r – 3 (లేదా) 18 = 2r + 3 + r – 3
⇒ r = -6 (లేదా) 18 = 3r
⇒ r = -6 (లేదా) r = 6
r > 0 కావున
∴ r = 6

ప్రశ్న 9.
5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10 దత్తాంశానికి విస్తృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువులు 5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10
అంకమధ్యమము = \(\bar{x}\)
= \(\frac{5+12+3+18+6+8+2+10}{8}\) = \(\frac{64}{8}\) = 8
పట్టికను నిర్మిద్దాం

xi	xi – \(\bar{x}\)	(xi – \(\bar{x}\))2
5	-3	9
12	4	16
3	-5	25
18	10	100
6	-2	4
8	0	0
2	-6	36
10	2	4

Σ(x_i – \(\bar{x}\))² = 194
∴ విస్తృతి (σ²) = \(\frac{1}{n}\)Σ(x_i – \(\bar{x}\))² = \(\frac{1}{8}\)(194) = 24.25

ప్రశ్న 10.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతో విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైనది.

X = xi	1	2	3	4	5
P(X = xi)	k	2k	3k	4k	5k

k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P ( X = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ 15k = 1 ⇒ k = \(\frac{1}{15}\)

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\), అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\)

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\) ⇒ 2x = 1 = 4x²
= 1 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1 4, ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన.
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\) = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4) x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² + 16 – 32y – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
4y² – 20y + 16 = 0
⇒ y² – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 1)(y – 4) = 0 ⇒ y = 1, 4
4y² – 20y + 16 ≥ 0 ⇒ y ≤ 1 or y ≥ 4
∴ y విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలను వరుసలో అమర్చగలిగే విధానాలెన్ని ?
వాటిలో ఎన్నిటిలో
(i) బాలికలందరూ కలిసి ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కనే రాకుండా ఉంటారు.
(iii) బాలురు, బాలికలు ఒకరి తరువాత ఒకరుగా ఉంటారు.
సాధన:
బాలుర సంఖ్య = 6
బాలికల సంఖ్య = 6
6 గురు బాలురు మరియు 6 గురు బాలికలను ఒక వరుసలో అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 12

i) కావలసిన అమరిక కొరకు 6 ఆరుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్గాను మరియు 6 గురు బాలురను 5 యూనిట్లు అనుకొని ఈ 7 యూనిట్లను అమర్చిగల విధానాల సంఖ్య = 7!
6 గురు బాలికలను వారిలో వారిని అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6 !
బాలికలందరూ కలిసి ఉండే విధంగా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 7! 6!

ii) కావలసిన అమరిక కొరకు ముందుగా 6 బాలురను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 6! బాలుర మధ్యగల 7 ఖాళీ స్థానాలలో ఆరుగురు బాలికలను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య ⁷P₆
X B X B X B X B X B X B X
ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన రాకుండా ఉండేటా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6! ⁷P₆.

iii) కావలసిన అమరిక కొరకు వరుస మొదట బాలుడు లేదా బాలికతో మొదలు అగును. వరుస బాలుడుతో మొదలు అయిన బాలురు బేసి స్థానాలలో (1, 3, 5, 7, 9, 11) అమర్చిగా సరిస్థానాలలో (2, 4, 6, 8, 10, 12) బాలికలను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 6! × 6!
బాలురు, బాలికలు ఒకరు తరువాత ఒకరు ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 2 × 6! × 6!

ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_n}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots . .(4 n-1)}{\left\{1.3 .5 \ldots \ldots . .(2 n-1\}^2\right.}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x⁴ ను x² – 3x + 2 చే భాగించగా
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) = x² – 3x + 7 + \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\) అనుకొనుము.
5 – 14 = A (x – 2) + B(x + 1)
x = 1 వ్రాయగా
15 – 14 = A (1 – 2)
1 = – A ⇒ A = -1
x = 2 వ్రాయగా
30 – 14 = B(2 – 1) ⇒ 16 = B ⇒ B = 16
\(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{1}{x-1}+\frac{16}{x-2}\)
\(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = x² + 3x + 7 – \(\frac{1}{x-1}+\frac{16}{x-2}\)

ప్రశ్న 16.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘటనలు
E₁, E₂ av P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ : సందర్భం (i) : E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P (E₂) – 0
= P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

సందర్భం (ii): E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P(E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు. 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఏంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనిన

ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత = \(\frac{7}{20}\)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ, అయితే cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\) = sin² α + sin² β + sin² γ అని మరియు.
సాధన:
ఇచ్చిన x = cos α + i sin α
y = cos β + i sin β
z = cos γ + i sin γ అనుకుందాం.
∴ x + y + z = (cos α + cos β + cos γ) + i(sin α + sin β + siny) = 0 + i 0 = 0
(x + y + z)² = 0
⇒ x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 0
x² + y² + z² = – 2(xy + yz + zx)
= – 2xyz(\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\)) …………. (1)
\(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) × \(\frac{\cos \alpha-i \sin \alpha}{\cos \alpha-i \sin \alpha}\)
= \(\frac{\cos \alpha-i \sin \alpha}{\cos ^2 \alpha-i^2 \sin ^2 \alpha}\) = \(\frac{\cos \alpha-i \sin \alpha}{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}\)
= cos α – i sin α
ఇదే విధంగా \(\frac{1}{y}\) = cos β – i sin β
\(\frac{1}{z}\) = cos γ – i sin γ
∴ \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) = (cos α + cos β + cos γ)
-i (sin α + sin β + sin γ) = 0 – i. 0 = 0
(1) నుంచి,, x² + y² + z² = 0
(cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
(cos 2α + i sin 2α) + (cos 2β + i sin 2β) + (cos 2γ + i sin 2γ) = 0
(cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i(sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా, cos 2α + cos²β + cos 2γ = 0
2 cos² α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
2 (cos² α + cos² β + cos² γ) = 3
cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
∵ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
⇒ (1 – sin² α) + (1 – sin² β) + (1 – sin² γ) = \(\frac{3}{2}\)
⇒ sin² α + sin² β + sin² γ = 3 – \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\) = sin² α + sin² β + sin² γ

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 2x³ + 4x² + 6x – 21 = 0, సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం సున్న
అయితే సమీకరణం మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
α, β, γ, δ లు దత్త సమీకరణ మూలాలు,
రెండు మూలాల మొత్తం సున్న కనుక α + β = 0 అనుకొనుము.
అయితే α + β + γ + δ = 2 ⇒ γ + δ = 2
αβ = p, γδ = q అనుకోండి
α, β లు మూలాలు గల సమీకరణం x² – (α + β)x + αβ = 0
∴ x² + p = 0
γ, δ మూలాలుగా గల సమీకరణం
x² – (γ + δ)x + γδ = 0
x² – 2x + q = 0
∴ x⁴ – 2x³ + 4x² + 6x – 21
= (x² + p)(x² – 2x + q)
= x⁴ – 2x³ + x² (p + q) – 2px + pq
ఇరువైపులా x², x పదాల గుణకాలను పోల్చగా
p + q = 4, -2p = 6
-3 + q = 4, p = -3
q = 7
∴ x² – 3 = 0 ⇒ x = ±√3 మరియు x² – 2x + 7 = 0
⇒ x = \(\frac{2 \pm \sqrt{4-28}}{2}\) = \(\frac{2 \pm 2 \sqrt{6 i}}{2}\) = \(1 \pm \sqrt{6 i}\)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -√3, √3, 1 – i√ 6 మరియు 1 + i√6

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో r, (r + 1), (r + 2) పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr (r + 1), (r + 2)వ పదాల గుణకాలు వరుసగా
ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1}
దత్తాంశము నుండి ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1} లు: అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
∴ ⁿC_{r – 1}, ⁿC_{r + 1} = 2ⁿC_r

⇒ (n – r) (n – r + 1) = (r + 1) (2n – 3r + 2)
⇒ n² – 2nr + r² + n – r = 2nr – 3r² + 2r + 2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
\(\frac{3.5}{5.10}[latex] + [latex]\frac{3.5 .7}{5.10 .15}[latex] + [latex]\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}[latex] + ………. ∞ అనంతశ్రేణి మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
S = [latex]\frac{3.5}{5.10}[latex] + [latex]\frac{3.5 .7}{5.10 .15}[latex] + [latex]\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}[latex] + ………. అనుకొనుము.

ప్రశ్న 22.
కింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము a = 25 మరియు h = 10 పట్టికను నిర్మిద్దాం.

మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = [latex]\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50 }\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
సంచి B₁ లో 4 తెల్లటి 2 నల్లటి బంతులున్నాయి. సంచి B₂ లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఒక సంచిని యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే, అది తెల్లటి బంతి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
B₁, B₂ సంచులను ఎంచుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొందాం. ‘ ఎంచుకొన్న సంచి నుంచి తీసిన బంతి తెల్లటిదయ్యే ఘటన W అనుకొందాం.
∴ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
∴ P(\(\frac{W}{E_1}\)) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)
P(\(\frac{W}{E_2}\)) = \(\frac{3}{7}\)
∴ P(W) = P(E₁) P(\(\frac{W}{E_1}\)) + P(E₂).P(\(\frac{W}{E_2}\))
= \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{7}\)
= \(\frac{14+9}{42}\) = \(\frac{23}{42}\)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి {0, 1, 2}. P ( X = 0) = 3c³, P(X = 1) = 4c – 10c², P (X = 2) = 5c – 1 అయినప్పుడు (i) c విలువ (ii) P (X < 1) (iii) P (1 ≤ X ≤ 2) and (iv) P (0 ≤ X ≤ 3) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {0, 1, 2} P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
3c³ + 4c – 10c² + 5c – 1 = 1
3c³ – 10c² + 9c – 2 = 0 ______ (1)
⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 లేదా 2 లేదా \(\frac{1}{3}\)
c = 1, 2 అయితే P(0) > 1
∴ c = \(\frac{1}{3}\)

i) P(X < 1) = P(X = 0) = 3.c³ = (\(\frac{1}{3}\))³ = 3.\(\frac{1}{27}\) = \(\frac{1}{9}\)

ii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2) = 5c – 1 = \(\frac{5}{3}\) – 1 = \(\frac{2}{3}\)

iii) P(0 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P (X = 3)
= 4c – 10c² + 5c – 1
= 9c – 10c² – 1
= 9(\(\frac{1}{3}\)) – 10(\(\frac{1}{3}\))² – 1
= \(\frac{27-10-9}{9}\)
= \(\frac{8}{9}\)
∴ P (0 < x ≤ 3) = \(\frac{8}{9}\)