AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 1 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
-5 + 12i యొక్క వర్గమూలం కనుక్కోండి.
సాధన:

= ±(2 + 3i)
∴ \(\sqrt{-5+12 i}\) = ±(2i + 3i)

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1, z₂ = i అయితే Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1
= -1 + i(0)
= cos π + i sin π
∴ Arg z₁ = π
z₂ = i
= 0 + i(1)
= cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin \(\frac{\pi}{2}\)
∴ Arg z₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg z₁ – Arg z₂
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
(1 + i)¹⁶ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
(1 + i)¹⁶ = [√2(\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + i\(\frac{1}{\sqrt{2}}\))]¹⁶
= 2⁸(cos\(\frac{\pi}{4}\) + i sin\(\frac{\pi}{4}\))¹⁶
= 2⁸ (cos 4π + i sin 4π)
= 2⁸ [1 + i(0)] = 2⁸
∴ (1 + i)¹⁶ = 2⁸

ప్రశ్న 4.
α, βలు ax² + bx + c = 0 వర్గసమీకరణం మూలాలు అయితే \(\frac{1}{\alpha^2}\) + \(\frac{1}{\beta^2}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β లు మూలాలుగా గల సమీకరణము ax² + bx + c = 0
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) మరియు αβ = \(\frac{c}{a}\)

ప్రశ్న 5.
x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² + 4x + 3 = 0 సమీకరణం మూలాలకి రెట్టింపు మూలాలున్న బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² + 4x + 3 అనుకొనుము.
f(x) = 0 సూచించే మూలాలకు రెట్టింపు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణము
f (\(\frac{x}{2}\)) = 0
⇒ (\(\frac{x}{2}\))⁵ – 2(\(\frac{x}{2}\))⁴ + 3 (\(\frac{x}{2}\))³ – 2 (\(\frac{x}{2}\))² + 4 (\(\frac{x}{2}\)) + 3 = 0
⇒ \(\frac{x^5}{32}\) – 2.\(\frac{x^4}{16}\) + 3.\(\frac{x^3}{8}\) – 2.\(\frac{x^2}{4}\) = 4.\(\frac{x^1}{2}\) + 3 = 0
⇒ x⁵ – 4x⁴ + 12x³ – 16x² + 64x + 96 = 0

ప్రశ్న 6.
“INTERMEDIATE” పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
INTERMEDIATE అను ‘పదమునందు 12 అక్షరములు కలవు. అందులో 2I లు, 2T లు మరియు 3E లు కలవు మిగిలినవి వివిధ అక్షరములు.
కావలసిన అమరికల సంఖ్య = \(\frac{(12)!}{2!2!3!}\)

ప్రశ్న 7.
ⁿP_r = 5040, ⁿC_r = 210 అయితే n, r విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ⁿP_r = 5040 మరియు ⁿC_r = 210
\(\frac{{ }^n P_r}{{ }^n C_r}\) = r! ⇒ \(\frac{5040}{210}\) = r!
⇒ 24 = r!
⇒ r! = 4!
∴ⁿP₄ = 5040
= 10 × 504 = 10 × 9 × 56
= 10 × 9 × 8 × 7
∴ n = 10.
∴ n = 10 మరియు r = 4

ప్రశ్న 8.
(1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_2nx²ⁿ అయితే a₀ + a₂ + a₄ + …… + a_2n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన (1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_2nx²ⁿ
x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
(1 + 1 + 1)ⁿ = a₀ + a₁ + a₂ + …. + a_2n
⇒ 3ⁿ = a₀ + a₁ + a₂ + …. + a_2n ……….. (1)

x = -1 ప్రతిక్షేపించగా
[1 + (-1) + (-1)²]ⁿ = a₀ + a₁ (-1) + a₂ (-1)² + a_2n (-1)²ⁿ
⇒ (1 – 1 + 1)ⁿ = a₀ – a₁ + a₂ – ….. + a_2n
⇒ 1 = a₀ – a₁ + a₂ – ….. + a_2n ………… (2)
(1) + (2) ⇒ 3ⁿ + 1 = 2(a₀ + a₂ + ….. + a_2n)
∴ a₀ + a₁ + a₂ + …… + a_2n = \(\frac{3^n+1}{2}\)

ప్రశ్న 9.
20 పరిశీలనల విస్తృతి 5. ప్రతి పరిశీలనను 2చే గుణించగా వచ్చే పరిశీలనల విస్తృతి కనుక్కోండి.
సాధన:
x₁, x₂ …. x₂₀ లు పరిశీలన బిందువులు మరియు వాటి అంక మధ్యమము \(\overline{\mathbf{x}}\) అనుకొనుము.
n = 20 మరియు విస్తృతి = 5


∴ కొత్త పరిశీలక బిందువుల విస్తృతి = \(\frac{1}{2}\) × 400
= 20 = 2²(5)

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2)ను తృప్తిపరిస్తే P(X = 5) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
పాయిజాన్ విభాజనములో
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}\), λ > 0
ఇచ్చిన P(X = 1) = P(X = 2)
⇒ \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{2!}\)
⇒ λ = \(\frac{\lambda^2}{2}\)
⇒ λ = 2
∴ P(X = 5) = \(\frac{e^{-2} 2^5}{5!}\)
\(\frac{32}{120 e^2}\) = \(\frac{4}{15 e^2}\)

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ తలంలో P సూచించే బిందువు 2 అయి, z = x + iy అయితే, |z – 2 – 3i| = 5 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన z = x + iy
|z – 2 – 3i| = 5
⇒ |x + iy – 2 – 3i| = 5
⇒ | (x – 2) + i(y – 3) | = 5
⇒ \(\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}\) = 5
⇒ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
⇒ x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
∴ P యొక్క బిందుపథము x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) వ్యాప్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) = y అనుకొనుము.
x + 2 = 2yx² + 3xy + 6y
⇒ 2yx + (3y – 1) x + (6y – 2) = 0
x ∈ R ⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y² – 6y + 1 – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ – 39y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y(3y – 1) + 1(3y – 1) ≤ 0
⇒ (13y+ 1) (3y – 1) ≤ 0
∴ \(\frac{-1}{13}\) ≤ y ≤ \(\frac{1}{3}\)
∴ \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) యొక్క వ్యాప్తి[\(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)]

ప్రశ్న 13.
‘MASTER’ పదంలోని అక్షరాలను ప్రస్తారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరుసలో “REMAST” పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన.
MASTER పదంలోని నిఘంటువు క్రమం A, E, M, R, S, T

∴ REMAST అనే పదం కోటి = 391.

ప్రశ్న 14.
7 గురు బ్యాట్స్మెన్, 6 గురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్నిరకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

మొదటి విధానము రెండవ విధానము	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
	6	5
	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆ . ⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅ . ⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 42 + 21 = 63

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x+2}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+1}\) అనుకొనుము.
= \(\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x+2)}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\)
∴ x² – 3 = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 2) ………. (1)
x = -2 వ్రాయగా
4 – 3 = A(4 + 1)
⇒ 1 = 5A
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా x² పదాలను పోల్చగా,
1 = A + B ⇒ B = 1 – A
⇒ B = 1 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ B = \(\frac{4}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా స్థిర పదాలను పోల్చగా,
– 3 = A + 2C ⇒ 2C = – 3 – A
⇒ 2C = – 3 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ 2C = \(\frac{-16}{5}\)
⇒ C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ A = \(\frac{1}{5}\) ,B = \(\frac{4}{5}\) మరియు C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{1 / 5}{x+2}\) = \(\frac{\frac{4}{5} x-\frac{8}{5}}{x^2+1}\)

ప్రశ్న 16.
‘ముందుగా 3ను దొర్లించిన వాళ్లు ఆట గెలిచినట్లు’ అనే షరతుపై A, B అనే ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒక పాచికను దొర్లించారు. ఆటను ముందుగా A మొదలు పెడితే A, B లు వరుసగా ఆటగెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
P = ఒక పాచికను విసరినపుడు 3 పడటానికి గల సంభావ్యత = \(\frac{1}{6}\)
q = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
మొదటి వ్యక్తి A గెలవటానికి మొదటి ప్రయత్నం లేదా మూడవ ప్రయత్నం లేదా అయిదవ ప్రయత్నం ……………. లలో గెలవవలెను.
∴ A గెలిచే సంభావ్యత = P + q.q.P + q.q.q.q.P + ………
= P + qP + q⁴P + ………….
P(1 + q² + q⁴ + …………)

B గెలిచే సంభావ్యత = 1 – \(\frac{6}{11}\) = \(\frac{5}{11}\)

ప్రశ్న 17.
ఇద్దరు విద్యార్థులు A, B లకు కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇస్తే వారు ఆ సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) వీరిద్దరూ స్వతంత్రంగా సమస్యను సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తే, ఆ సమస్య సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, B లతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
ఇచ్చిన P(E₁) = \(\frac{1}{3}\) మరియు P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతంను అనుసరించి
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
E₁, E₂ లు స్వతంత్రాలు కావున
= P(E₁) + P(E₂) – P(E₁) . P(E₂)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{3}\).\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{4+3-1}{12}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x¹¹ = x⁷ + x⁴ – 1 = 0 సమీకరణపు అన్ని మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x¹¹ – x⁷ + x⁴ – 1 = 0
⇒ x⁷(x⁴ – 1) + 1(x⁴ – 1) = 0
⇒ (x⁴ – 1) (x⁷ + 1) = 0
⇒ x⁴ – 1 = 0 (లేదా) x⁷ + 1 = 0
⇒ x⁴ – 1 = 0
⇒ x⁴ = 1
⇒ x⁴ = 1 + i 0
⇒ x⁴ = cos 0 + i sin 0
⇒ x⁴ = (cos 0 + i sin 0)^1/4
x = cis (\(\frac{2 \mathrm{k} \pi+0}{4}\))
k = 0, 1, 2, 3,

x⁷ + 1 = 0
⇒ x⁷ = -1
⇒ x⁷ = -1 + i 0
⇒ x⁷ = cos π + i sin π
⇒ x = (cos π + i sin π)^1/7
x = cis (\(\frac{2 \mathrm{k} \pi+\pi}{7}\))
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

= cis(\(\frac{k \pi}{2}\)), k = 0, 1, 2, 3
= cis 0, cis\(\frac{\pi}{2}\), cis π, cis \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1, i, -1, – i
∴ x¹¹ – x⁷ + x⁴ – 1 = 0 సమీకరణపు మూలాలు
±1, ±i, cis (\(\frac{2 k+1}{7}\))π k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

ప్రశ్న 19.
సాధించండి : x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0.
సాధన:
ఇచ్చిన x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0
⇒ x² – 10x + 26 – 10. \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\) = 0
⇒ (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 10 (x + \(\frac{1}{x}\)) + 26 = 0 ……… (1)
x + \(\frac{1}{x}\) = a అనుకొనిన
అపుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = a² – 2
ఈ విలువలను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా,
(a² – 2) – 10a + 26 = 0
⇒ a² – 2 – 10a + 26 = 0
⇒ a² – 10a + 24 = 0
⇒ (a – 4) (a – 6) = 0
⇒ a = 4
⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² – 4x + 1 = 0
∴ x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4.1 .1}}{2.1}\)
= \(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
= 2 ± √3
(లేదా)
a = 6
x + \(\frac{1}{x}\) = 6
⇒ x² + 1 = 6x
⇒ x² – 6x + 1 = 0
∴ x = \(\frac{6 \pm \sqrt{36-4.1 .1}}{2.1}\)
= \(\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}\)
= 3 ± 2√2
∴ దత్త సమీకరణపు మూలాలు 2 ± √3, 3 ± 2√2

ప్రశ్న 20.
n ధన పూర్ణాంకం, x శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయితే
C₀ + C₁. \(\frac{x}{2}\) + C₂. \(\frac{x^2}{3}\) + C₃. \(\frac{x^3}{4}\) + …… + C_n. \(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3 .5}{3.6 .9}\) + \(\frac{1.3 \cdot 5.7}{3.6 .9 .12}\) నిరూపించండి.
సాధన:

∴ \(\frac{4}{3}\) + x = (1 – \(\frac{2}{3}\))^-1/2
\(\frac{4+3 x}{3}\) = (\(\frac{1}{3}\))^-1/2
⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
క్రింది విభాజనానికి విస్తృతి, క్రమవిచలనం కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చట h = 10
ఊహాత్మక అంక మధ్యమము A = 65 అనుకొనిన అపుడు y = \(\frac{x_i-65}{10}\)

విస్తృతి \(\sigma_{\mathrm{x}}^2\) = \(\frac{\mathrm{h}^2}{\mathrm{~N}^2}\)[nΣf_iy_i² – (Σf_iy_i²)]
= \(\frac{100}{2500}\)[50 (105) – (-15)²]
\(\frac{1}{25}\)[5250 – 225] = 201
ప్రామాణిక విచలనం σ_x = \(\sqrt{201}\) = 14.18

ప్రశ్న 23.
A, B, C లు మూడు ఘటనలు. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(C) = 0.8, P (A ∩ C) = 0.08, P (A ∩ C) = 0.28, P (A ∩ B ∩ C) = 0.09, P(A∪B∪C) ≥ 0.75 అయితే P (B ∪ C) విలువ [0.23, 0.48] అంతరంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన P(A ∪ B ∪ C) ≥ 0.75
∴ 0.75 ≤ P (A ∪ B ∪ C) ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – (B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C) ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ 0.3 +0.4 + 0.8 0.08 – (B ∩ C) – 0.28 + 0.09 ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ 1.23 – P(B ∩ C) ≤ 1
⇒ 0.75 – 1.23 ≤ – P(B ∩ C) ≤ 1 – 1.23
⇒ – 0.48 ≤ – P(B ∩ C) ≤ – 0.23
⇒ 0.48 > P(B ∩ C) ≥ 0.23
⇒ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.48
∴ P(B ∩ C) అంతరం [0.23, 0.48] లో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి క్రింది విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.

i) k
ii) మాధ్యమం
iii) P (0 < X < 5) విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
Σ P(X = x) = 1 అని తెలియును.
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k. k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (10k – 1) (k + 1) = 0
⇒ k = \(\frac{1}{10}\), -1
k > 0 కావున

(i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) సగటు = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) + 3 P(X = 3) + 4P (X = 4)+ 5 P(X = 5) + 6 P (X = 6) + 7 P (X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 30(\(\frac{1}{10}\))
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\)) = 0.8