SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Exercise 4.1
1. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలుపుము.
(i) 4-3
(ii) (-2)7
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)
(iv) (-3)-4
సాధన.
(i) 4-3 = \(\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{64}\)
[∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
(ii) (-2)7 = – (2)7 = – 128 [∵ 7 బేసిసంఖ్య]
ఎందుకనగా (-a)n విస్తరణలో n బేసిసంఖ్య అయిన (-a)n = – an అగును.
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)
(iv) (3)-4 = \(\frac{1}{(-3)^{4}}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{3^{4}}\) [∵ 4 ఒక సరిసంఖ్య]
= \(\frac {1}{81}\)
2. కింది వానిని సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\)
సాధన.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{4+5+6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{15}\)
= \(\frac{1}{2^{15}}\) [∵ am × an = am+n]
(ii) (-2)7 × (-2)3 × (-2)4
సాధన.
(-2)7+3+7 = (-2)14 = 214
[∵ (-a)n = an, n ఒక సరిసంఖ్య ]
(iii) 44 × \(\left(\frac{5}{4}\right)^{4}\)
సాధన.
\(4^{4} \times \frac{5^{4}}{4^{4}}=5^{4}\)
[∵ \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\)]
(iv) \(\left[\frac{5^{-4}}{5^{-6}}\right] \times 5^{3}\)
సాధన.
= 5-4 × (56 × 53) [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 5-4 × 56+3 [∵ am × an = am+n]
= 5-4 × 59 = 5(-4)+9 = 55
(v) (-3)4 × 74
సాధన.
= 34 × 74 [∵ 4 ఒక సరి సంఖ్య ]
= (3 × 7)4 = (21)4 [∵ am × bm = (ab)m]
3. సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(2^{2} \times \frac{3^{2}}{2^{-2}} \times 3^{-1}\)
సాధన.
= 22 × 22 × 32 ×3-1 [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 22+2 × 32+(-1)
= 24 × 31 = 16 × 3 = 48
(ii) (4-1 × 3-1) ÷ 6-1
సాధన.
= \(\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}\)
= \(\frac {6}{12}\)
= \(\frac {1}{2}\)
= 2-1
4. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) (40 + 5-1) × 52 × \(\frac {1}{3}\)
సాధన.
(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\)
సాధన.
(iii) (2-1 + 3-1 + 4-1) × \(\frac {3}{4}\)
సాధన.
(iv) \(\frac{3^{-2}}{3} \times\left(3^{0}-3^{-1}\right)\)
సాధన.
(v) 1 + 2-1 + 3-1 + 40
సాధన.
(vi) \(\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right]^{2}\)
సాధన.
5. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
(ii) ((52)3 × 54) ÷ 56
సాధన.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
= \(\left[5 \times \frac{5}{1}\right]^{2}\)
= (52)2 = 54 = 625 [∵ (am)n = amn]
(ii) ((52)3 × 54) ÷ 56
సాధన.
6. కింది వానిలో ‘n’ విలువను కనుగొనుము.
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\)
సాధన.
భూములు సమానమైన ఘాతాంకాలు సమానాలు.
⇒ n – 2 = 8 ⇒ n = 8 + 2 = 10
∴ n = 10
(ii) (-3)n+1 × (-3)5 = (-3)-4
సాధన.
⇒ (-3)n+1+5 = (-3)-4 [∵ am x an = am+n]
⇒ (-3)n+6 = (-3)-4
⇒ n + 6 = -4
n = – 4 – 6 = – 10
∴ n = – 10
(iii) 72n+1 ÷ 49 = 73
సాధన.
7. 2-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
2-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) = 2-x [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
⇒ 2-3 = 2-x
⇒ -x = -3
∴ x = 3
8. \(\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \div\left(\frac{4}{5}\right)^{-3}\right] \times\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\) సూక్ష్మీకరించుము.
సాధన.
9. m = 3 మరియు n = 2 అయిన ఈ క్రింది వాని విలువలను కనుగొనుము.
i) 9m2 – 10n3
ii) am2n2
iii) 2m3 + 3n2 – 5m2n
iv) mn – nm
సాధన.
i) 9m2 – 10n3 = 9(3)2 – 10(2)3
= 9 × 9 – 10 × 8
= 81 – 80 = 1
ii) 2m2n2
= 2(3)2(2)2
= 2 × 9 × 4
= 72
iii) 2m3 + 3n2 – 5m2n
= 2(3)3 + 3(2)2 – 5(3)2 × 2
= (2 × 27) + (3 × 4) – (5 × 9 × 2)
= 54 + 12 – 90
= 66 – 90
= – 24
iv) mn – nm = 32 – 23
= 3 × 3 – 2 × 2 × 2 = 9 – 8 = 1
10. \(\left(\frac{4}{7}\right)^{-5} \times\left(\frac{7}{4}\right)^{-7}\) సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
సాధన.