AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ – వైశాల్యం కనుక్కోండి. .
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, – 4)
సాధన.
A (2, 3), B (- 1, 0),C (2, – 4) ,
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1(y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)|

= \(\frac{1}{2}\) |2[0 – (- 4)] + (- 1)(- 4 – 3) + 2 (3 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |2 (4) – 1 (- 7) + 2 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |8 + 7 + 6|
= \(\frac{1}{2}\) × 21
= \(\frac{21}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= \(\frac{1}{2}\) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 1

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x1)|

= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 2

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(2 × 0 + (- 1) × (- 4) + 2 × 3) – (3 × (- 1) + 0 × 2 + (- 4) ×2) |
= \(\frac{1}{2}\) (0 + 4 + 6) – (- 3 + 0 – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |10 – (- 11)|
= \(\frac{1}{2}\) |21|
= \(\frac{1}{2}\) × 21 = \(\frac{21}{2}\)
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చయూ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

(ii) (- 5, – 1), (3, – 5) మరియు (5, 2)
సాధన.
A (- 5, – 1), B (3, – 5), C (5, 2) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 5 – 2) + 3[2 – (- 1)] + 5[- 1 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 7) + 3 (3) + 5 (4)|
= \(\frac{1}{2}\) |35 + 9 + 20|
= \(\frac{1}{2}\) |64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∆ABC వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 3

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 5) × (- 5) + 3 × 2 + 5 × (- 1)| – [(- 1) (3) + (- 5) × (5) + 2 × (- 5)]
= \(\frac{1}{2}\) |(25 + 6 – 5) – (- 3 – 25 – 10)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 – (- 38)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 + 38|
= \(\frac{1}{2}\) |64| = \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

(iii) (0,0), (3, 0) మరియు (0, 2)
సాధన.
A (0, 0), B (3, 0), C (0, 2) అనుకుందాం.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 2) + 3(2 +0) + 0(0 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 4

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(0 × 0 + 3 × 2 + 0 × 0) – (0 × 3 + 0 × 0 + 2 × 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6 – 0|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలైతే ‘k’ విలువను కనుగొనండి.
(i) (7, – 2), (5, 1) మరియు (3, k)
సాధన.
A (7, – 2), B (5, 1),C (3, k) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం : = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5[k – (- 2)] + 3(- 2 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9|
= |8 – 2k|
సరేఖీయాలు కావున ∆ABC వైశాల్యం సున్న
∴ |8 – 2k| = 0
8 – 2k = 0
8 = 2k
⇒ \(\frac{8}{2}\) = k
∴ k = 4.

(ii) (8, 1), (k, – 4) మరియు (2, – 5)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (8, 1), B (k, – 4), C (2, – 5) లు సరేఖీయాలు..
∴ ∆ABC = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8(- 4 – (- 5)) + k(- 5 – 1) +2[1 – (- 4)] = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 (1) + k (- 6) + 2 (5)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 – 6k + 10| = 0
∴ 18 – 6k = 0
⇒ 18 = 6k
⇒ \(\frac{18}{6}\) = k.
∴ k = 3.

సరిచూచుకోవడం :
k = 3 అయిన A(8, 1), B (3, – 4), C(2, – 5)
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |8 (- 4 + 5) + 3(- 5 – 1) + 2 (1 + 4)|
\(\frac{1}{2}\) |8 – 18 + 10| = 0

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

(iii) (k, k), (2, 3) మరియు (4, – 1)
సాధన..
A (k, k), B (2, 3) మరియు C (4, – 1) లు సరేఖీయాలు అయితే ∆ABC వైశాల్యం సున్న.
\(\frac{1}{2}\) |k[(3 – (- 1)) + 2(- 1 – k) +4(k – 3)]| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |4k – 2 – 2k + 4k – 12| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |6k -14| = 0
6k – 14 = 0
⇒ 6k = 14
⇒ k = \(\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\)
∴ k = \(\frac{7}{3}\)

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) మరియు (0, 3) శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ వైశాల్యం, మరియు దాని భుజాల మధ్యబిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 5

ఇచ్చిన బిందువులు A (0, – 1), B (2, 1), C (0, 3) అనుకొందాం.
AB, BC, ACల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F లు అనుకొనుము.
AB మధ్యబిందువు D = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)

BC మధ్యబిందువు E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) =(1, 2)

AC మధ్యబిందువు F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
A(0, – 1), B(2, 1), C(0, 3)
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0,
y1 = – 1, y2 = 1, y3 = 3
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + 2[3 – (- 1)] + 0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ABCవైశాలం = 4 చ.యూనిట్లు
భుజాల మధ్యబిందువులు D(1, 0), E (1, 2), F (0, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజం ∆DEF వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0 (1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (1) + 1(1)|
∴ ∆DEF వైశాల్యం = 1 చ.యూనిట్
∆ABC మరియు ∆DEF ల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 4 : 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (- 4, – 2), (-3, – 5),(3, – 2) మరియు . (2, 3)లు శీర్షాలుగా గల చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 6

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 4, – 2), B (- 3, – 5), C (3, – 2) మరియు D (2, 3) అనుకుంటే □ABCDని AC రెండు త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADC గా విభజిస్తుంది. .
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + x3 (y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4(- 5 – (- 2)] + (- 3)(- 2 – (- 2)] + 3[- 2 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [- 5 + 2] – 3(- 2 + 2) + 3 [- 2 + 5]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (- 3) – 3(0) + 3 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 0 + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |21| = 11 చ.యూ.

∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [3 – (- 2)] + (- 2) – (- 2)] + 3(- 2) – 3]
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (5) + 2 (0) + 3 (- 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 + 0 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |- 35]
= \(\frac{1}{2}\) × 35 = \(\frac{35}{2}\) చ.యూ, ”

□ABCD వైశాల్యము = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 చ.యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి : .

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 6

A (- 4, – 2), B (- 3, – 5),C (3, – 2)మరియు D (2, 3) అనుకొనుము.
□ABCD వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 7

= \(\frac{1}{2}\) |(20 – 9 – 4) – (6 – 10 – 12)| + \(\frac{1}{2}\) |(- 9 – 4 – 15) – (- 10 + 9 +6)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 + 16| + \(\frac{1}{2}\) |- 28 – 5|
= \(\frac{1}{2}\) |23| + \(\frac{1}{2}\) |33|
= \(\frac{1}{2}\) (23 + 33)
= \(\frac{1}{2}\) × 56 = 28 చ.యూనిట్లు
□ABCD వైశాల్యం = 28 చ.యూనిట్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 5.
క్రింది బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనుము.
(i) (1, 1), (1, 4) మరియు (5, 1).
(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, – 1)
సాధన.
(i) A (1, 1), B (1, 4) మరియు C (5, 1)
c = AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-1)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+3^{2}}\) = 3 యూనిట్లు

a = BC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+0}\) = 4 యూనిట్లు

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

త్రిభుజ వైశాల్యం హెరాన్ సూత్రం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 1 \times 2 \times 3}\)
= √36 = 6 చ.యూ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, -1)
(2, 3) (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రంను ఉపయోగించి కనుగొనుట.
పటంలో చూపినట్లు AABC యొక్క శీర్షాల నిరూపకాలు A(2, 3), B(- 1, 3) మరియు C(2, – 1) అనుకుందాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 8

∴ ఆ త్రిభుజ భుజాల పొడవులు, AB = c, BC = a, CA = b తో సూచిస్తాం.
హెరాన్ సూత్ర పద్ధతిన త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ s = \(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\) కావున మనం భుజాల పొడవులు కనుగొందాం.
భుజాల పొడవులను \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) సూత్ర సహాయాన కనుగొందాం.
∴ AB = c = (2, 3) మరియు (- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం.
c = \(\sqrt{(2-(-1))^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2+1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{3^{2}+0}=\sqrt{3^{2}}\) = 3 మరియు

BC = a = (-1, 3) మరియు (2, – 1)ల మధ్య దూరం
a = \(\sqrt{(-1-2)^{2}+[3-(-1)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(3+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5

మరియు CA = b = (2, – 1) మరియు (2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం
b = \(\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4

∴ a = 5, b = 4, c = 3.
⇒ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+4+3}{2}=\frac{12}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
=\(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6(1)(2)(3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 6}\) = 6 చllయూనిట్లు
∴ ఇచ్చిన త్రిభుజ వైశాల్యము = 6 చ|| యూనిట్లు.

Leave a Comment