AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (- 1, 7) మరియు (4, – 3). లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు P (- 1, 7), Q (4, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు
(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(x, y) = \(\left(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}, \frac{2(-3)+3(7)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{8-3}{5}, \frac{-6+21}{5}\right)=\left(\frac{5}{5}, \frac{15}{5}\right)\) = (1, 3).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (-2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును P, Q లు త్రిథాకరణ బిందువులు అనుకొందాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 1

(4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

= (2, \(\frac{-5}{3}\))
∴ P = (2, \(\frac{-5}{3}\))
ఇప్పుడు (4 – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right)\)

= (0, \(\frac{-7}{3}\))
∴ Q = (0, \(\frac{-7}{3}\))
కావున (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (2, \(\frac{-5}{3}\)), (0, \(\frac{-7}{3}\))

సరిచూచుకొనుట :
(4, – 1) మరియు. (- 2, – 3) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{(-1)+(-3)}{2}\right)\)
= (1, – 2)
P(2, \(\frac{-5}{3}\)), Q(0, \(\frac{-7}{3}\)) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{\left(\frac{-5}{3}\right)+\left(\frac{-7}{3}\right)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{-12}{3}}{2}\right)\) = (1, – 2).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 1, 6), m1 : m2.
నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అనుకుందాం.
విభజన సూత్రం
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{1}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = – 1

∴ 6m1 – 3m2 = – m1 – m2
6m1 + m1 = – m2 + 3m2
7m1 = 3m2
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి m1 : m1 = 2 : 7.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) యొక్క రేఖాఖండాన్ని బిందువు (- 1, 6) λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం.
∴ (- 1, 6) = \(\left(\frac{\lambda(6)+1(-3)}{\lambda+1}, \frac{\lambda(-8)+1(10)}{\lambda+1}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}, \frac{-8 \lambda+10}{\lambda+1}\right)\)

∴ \(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}\) = – 1

⇒ 6λ – 3 = – λ – 1
⇒ 6λ + λ = – 1 + 3
7λ = 2
λ = \(\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి λ : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆశీర్షాలయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 2

ఇచ్చిన బిందువులు . A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) మరియు D (3, 5) లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
∴ కర్ణం AC యొక్క మధ్యబిందువు = కర్ణం BD మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1+x}{2}, 4\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 2 + 2x = 14
⇒ 2x = 14 – 2
⇒ 2x = 12
∴ x = \(\frac{12}{2}\) = 6
\(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
x = 6, y = 3.

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 5.
AB వ్యాసంగా గల వృత్తం యొక్క కేంద్రము (2, – 3) మరియు వృత్తం పైనున్న ఒక బిందువు B(1, 4) అయిన A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 3

AB వ్యాసంగా గల వృత్తానికి AB యొక్క మధ్య బిందువు వృత్తకేంద్రం అవుతుంది.
∴ A(x, y), B (1, 4)ల మధ్య బిందువు = కేంద్రము (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
∴ \(\frac{y+4}{2}\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 4 – 6 = – 10
∴ A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, – 10).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A, B లు వరుసగా (- 2, – 2) మరియు (2, – 4). AB రేఖాఖండంపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 2, – 2), B (2, – 4) రేఖాఖండముపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు కలదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 4

AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}\)
⇒ AP : AB = 3:7
కావున PB = AB – AP = 7 – 3 = 4
∴ AP : PB = 3 : 4
A (- 2, – 2), B (2, – 4) ను P 3 : 4 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

= \(\left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)
కావలసిన బిందువు P(x, y) = \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు A(- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 5

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. విభజన సూత్రం
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{1(0)+3(-4)}{1+3}, \frac{1(6)+3(0)}{1+3}\right)\)

= \(\left(\frac{-12}{4}, \frac{6}{4}\right)\)

= (- 3, \(\frac{3}{2}\))
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+0}{.2}, \frac{0+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right)\) = (- 2, 3)
AB ని R 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ R = \(\left(\frac{3(0)+1(-4)}{3+1}, \frac{3(6)+1(0)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{18}{4}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)

A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు (- 3, \(\frac{3}{2}\)), (- 2, 3) మరియు (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A (- 4, 0), B (0, 6) ల యొక్క రేఖాఖండమును P, Q, R లు వరుసగా నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకుందాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 6

A, B ల మధ్య బిందువు Q
A, Q ల మధ్య బిందువు P
Q, B ల మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
కావున A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \([\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)/latex] = (- 2, 3)
A (- 4, 0), Q(- 2, 3) ల మధ్య బిందువు
P = [latex]\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{2}, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

Q (- 2, 3), B (0, 6) ల మధ్య బిందువు R
R = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{9}{2}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)
A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు P = (- 3, \(\frac{3}{2}\)), Q = (- 2, 3) , R = (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 8.
బిందువులు A(- 2, 2) మరియు B(2, 8)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
పాదన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 7

A (- 2, 2), B (2, 8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని P, Q, R లు నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకొనుము.
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2-6}{4}, \frac{8+6}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

P= (- 1, \(\frac{7}{2}\))
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా Q, AB కి మధ్యబిందువు
∴ Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని R 3:1 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
R = \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{6-2}{4}, \frac{24+2}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) మరియు (1, \(\frac{13}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A, B కి మధ్య బిందువు Q
A, Q కి మధ్య బిందువు P
Q, R కి మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

P = A(- 2, 2), Q (0, 5) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R= Q(0, 5); B(2, 8) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు (-1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5), (1, \(\frac{13}{2}\)).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును అంతరంగా 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
(a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b) ల రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా P (x, y) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.

∴ P (x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{3(a-b)+2(a+b)}{3+2} ; \frac{3(a+b)+2(a-b)}{3+2}\right)\)

= \(\left(\frac{3 a-3 b+2 a+2 b}{5}, \frac{3 a+3 b+2 a-2 b}{5}\right)\)

= \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు = \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 10.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనండి.
(i) (- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6)
సాధన.
(- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6) బిందువులచే ఏర్పడే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-1+6+(-3)}{3}, \frac{3+(-3)+6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{3}, \frac{6}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)

(ii) (6, 2), (0,0) మరియు (4, – 7) .
సాధన.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 7) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3} ; \frac{2+0+(-7)}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

(iii) (1, – 1), (0, 6) మరియు (- 3, 0)
సాధన.
(1, – 1), (0, 6) మరియు (-3, 0) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{1+0+(-3)}{3}, \frac{-1+6+0}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

∴ గురుత్వకేంద్రం = \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

Leave a Comment