AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 1.
కింది వర్గ బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొని బహుపది గుణకాలకు; శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
(i) x2 – 2x – 8
(ii) 4s2 – 4s + 1
(iii) 6x2 -3-7x
(iv) 4u2 + 8u
(v) t2 – 15
(vi) 3x2 – x – 4
సాధన.
(i) x2 – 2x – 8
p(x) = x2 – 2x – 8 = 0 అయిన

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 1

⇒ x2 – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 2
p(x) శున్య విలువలు α = 4, β = – 2
శూన్య విలువల మొత్తం
(α + β) = 4 + (-2) = 2 = -(\(\frac{-2}{1}\))
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 2
శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = (4) (- 2) = – 8 = (\(-\frac{8}{1}\))
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(ii) 4s2 – 4s + 10
p(s) = 4s2 – 4s + 1 = 0 అయిన
⇒ 4s2 – 2s – 2s + 1 = 0
⇒ 2s(2s – 1) – 1 (2s – 1) = 0
⇒ (2s – 1) (2s – 1) = 0
⇒ 2s – 1 = 0 లేదా 2s – 1 = 0
⇒ 2s = 1 లేదా 2s = 1
⇒ s = \(\frac{1}{2}\) లేదా s = \(\frac{1}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 4

శూన్య విలువలు α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{1}{2}\)
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1 = \(\frac{-(-4)}{4}\)

= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 5

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\) = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 6

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(iii) 6x2 – 3 – 7x
p(x) = 6x2 – 7x – 3 = 0 అయిన

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 7

⇒ 6x2 + 2x – 9x – 3 = 0
⇒ 2x(3x + 1) – 3 (3x + 1) = 0
⇒ (3x + 1) (2x – 3) = 0
⇒ 3x + 1 = 0 లేదా 2x – 3 = 0
⇒ x = \(-\frac{1}{3}\), లేదా x = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువలు α = \(-\frac{1}{3}\), β = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}\)
\(\frac{-2+9}{6}=\frac{7}{6}=\frac{-(-7)}{6}\) = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 8
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = \(-\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{-3}{6}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 9

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(iv) 4u2 + 8u
p(u) = 4u2 + 8u = 0 అయిన
4u (u + 2) = 0
4u = 0 లేదా u + 2 = 0
u = 0 లేదా u = – 2
శూన్య విలువలు α = 0 మరియు β = -2
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = 0 + (- 2) = – 2 = – \(\frac{8}{4}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 10

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = 0 (- 2) = 0 = \(\frac{0}{4}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 11

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(v) t2 – 15
p(t) = t2 – 15 = 0 అయిన
⇒ t2 = 15 = t = ± \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువలు α = \(\sqrt{15}\) మరియు β = – \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = \(\sqrt{15}\) + (-\(\sqrt{15}\)) = 0
= \(\frac{0}{1}\) = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 12

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\sqrt{15}\) × (-\(\sqrt{15}\)) = – 15
= \(\frac{-15}{1}\) = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 13

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(vi) 3x2 – x – 4
p(x) = 3x2 – x – 4 = 0 అయిన

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 14

⇒ 3x2 – 4x + 3x – 4 = 0
⇒ x(3x – 4) + 1 (3x – 4) = 0
⇒ (3x – 4) (x + 1) = 0
⇒ 3x – 4 = 0 లేదా x + 1 = 0
⇒ 3x = 4 లేదా x = – 1
⇒ x = \(\frac{4}{3}\) లేదా x = – 1
శూన్య విలువలు α = \(\frac{4}{3}\) మరియు β = – 1
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{4}{3}\) + (- 1) = \(\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-(-1)}{3}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 12

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\frac{4}{3}\) (- 1) = – \(\frac{4}{3}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 13

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 2.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దాలు వరుసగా ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా వర్గ బహుపదులను కనుగొనండి.
(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) –\(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1
సాధన.
(i) శూన్య విలువలు α, β అనుకొనుము.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = \(\frac{1}{4}\)
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = – 1
α, β లు శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
కావలసిన వర్గ బహుపది p(x) = k [x2 – (\(\frac{1}{4}\)) x + (- 1)]
= k [x2 – \(\frac{x}{4}\) – 1]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4 \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
p(x) = 4x2 – x – 4

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
α + β = √2; αβ = \(\frac{1}{3}\)
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – √2x + \(\frac{1}{3}\)]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1}{3} \underline{1}\right]\)
∴ k = 3 అయిన p(x) = 3x2</sup – 3√2x + 1

(iii) 0, √5
α + β = 0, αβ = √5
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – 0x + √5]
= k [x2 + √5]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x2 + √5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(iv) 1, 1
α + β = 1, αβ = 1
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – x + 1]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x2 – x + 1.

(v) – \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
α + β = – \(\frac{1}{4}\); αβ = \(\frac{1}{4}\)
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – (- \(\frac{1}{4}\)) x + \(\frac{1}{4}\)]
= k [x2 + \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}+x+1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x2 + x + 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(vi) 4, 1
α + β = 4; αβ = 1
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – 4x + 1].
∴ k = 1 అయిన p(x) = x2 – 4x + 1

Note:
పై సమస్యలలో k యొక్క వివిధ విలువలకి వివిధ బహుపదులు వస్తాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 3.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β లు దిగువ ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా బహుపదులను కనుగొనండి.

(i) 2, -1
(ii) √3, – √3
(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
సాధన.
(i) 2, – 1
α = 2 మరియు β = – 1
α + β = 2 + (- 1) = 1
α . β = 2(- 1) = – 2
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – x + (- 2)]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x2 – x – 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(ii) √3, – √3
α = √3 మరియు β = – √3
α + β = √3 + (- √3) = 0
αβ = (√3) (- √3) = – 3
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ)
= k [x2 – 0x – 3]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x2 – 3.

(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
α = \(\frac{1}{4}\) మరియు β = – 1
α + β = \(\frac{1}{4}\) + (- 1)
= \(\frac{1-4}{4}=\frac{-3}{4}\)
α. β = (\(\frac{1}{4}\)) (- 1) = – \(\frac{1}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k[x2 – \(-\frac{3}{4}\) x + (- \(\frac{1}{4}\))]
= \(\left[\frac{4 x^{2}+3 x-1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x2 + 3x – 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{3}{2}\)
α + β = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
αβ = (\(\frac{1}{2}\)) (\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
= k [x2 – 2x + \(\frac{3}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-8 x+3}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4x2 – 8x + 3.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 4.
ఒక ఘన బహుపది x3 + 3x2 – x – 3 యొక్క శూన్యాలు 1, – 1 మరియు – 3 అగునని సరిచూడండి. ఇదే విధంగా బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x3 + 3x2 – x – 3
p(1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) – 3
= 1 + 3 – 1 – 3
= 4 – 4
p(1) = 0 …………………(1)
p(- 1) = (- 1)3 + 3(- 1)2 – (- 1) – 3
= – 1 + 3 + 1 – 3
= – 4 + 4
p(- 1) = 0 ……………..(2)
p(- 3) = (- 3)3 + 3 (- 3)2 – (- 3) – 3
= – 27 + 27 + 3 – 3
= -30 + 30
p(-3) = 0 …………… (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
p(1) = 0
p(- 1) = 0
p(- 3) = 0
కావున p(x) కు 1, – 1, – 3 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β + γ = 1 + (- 1) + (- 3)
= – 3
= \(\frac{-3}{1}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 15

రెండేసి శూన్య విలువల లబ్దాల మొత్తం :
αβ + βγ + αγ = (1) (- 1) + (- 1) (- 3) + (1) (- 3)
= – 1 + 3 – 3
= – 1
= \(\frac{-1}{1}\)
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 16
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ = (1) (-1) (-3)
= 3
= -(\(\frac{-3}{1}\))
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3 17

Leave a Comment