# AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

## AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మికరించండి:
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
సాధన.
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
= $$\left(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right)$$
= $$\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right)$$
[∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2] cose + sin’e +2 sino cose – 1 :: :coso. sine
= $$\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \cdot \sin \theta}$$
= $$\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}$$
= $$\frac{1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}$$ [∵ cos2 θ + sin2 θ = 1]
= $$\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}$$ = 2.

(ii) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2
సాధన.
(sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = (sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ cos θ) +
(sin2 θ + cos2 θ – 2 sin θ cos θ)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab]
= 1 + 2 sin θ cos θ + 1 – 2 sin θ cos θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 1 + 1 = 2

(iii) (sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1)
సాధన.
(sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1) = tan2 θ × cot2 θ
[∵ sec2 θ – tan2 θ = 1
cosec2 θ – cot2 θ = 1]
= tan2 θ × $$\frac{1}{\tan ^{2} \theta}$$ = 1

ప్రశ్న 2.
(cosec θ – cot θ)2 = $$\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$ అని చూపించండి
సాధన.
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)2
= $$\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}$$
= $$\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}$$
= $$\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}$$
[∵ sin2 θ = 1 – cos2 θ]
= 
[∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
= $$\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$$ = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
$$\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}$$ = sec A + tan A చూపండి.
సాధన.
L.H.S = $$\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}$$
లవహారాలను 1 – sin A తో గణించగా
= $$\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}}$$
= $$\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}$$
[∵ (a + b)(a + b) = (a + b)2]
(a – b)(a + b) = a? — 62)
= $$\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}$$
= $$\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}$$
= sec A + tan A = R.H.S.

ప్రశ్న 4.
$$\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}$$ = tan2 A
సాధన.
L.H.S. = $$\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}$$
= $$\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\frac{1}{\tan ^{2}}-1}$$
= $$\frac{1-\tan ^{2} A}{\frac{1 \tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}$$
= 1 – tan2 A × $$\frac{\tan ^{2} A}{1-\tan ^{2} A}$$
= tan2 A

ప్రశ్న 5.
$$\frac{1}{\cos \theta}$$ – cos θ = tan θ . sin θ చూపండి
సాధన.
L.H.S = $$\frac{1}{\cos \theta}$$ – cos θ
= $$\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}$$
= $$\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}$$ [∵ 1 – cos2 θ = sin θ]
= $$\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{\cos \theta}$$
= $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ [∵ $$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ = tan θ].

ప్రశ్న 6.
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
L.H.S. = sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – sec A. sin A) . (sec A + tan A)
= (sec A – $$\frac{1}{\cos A}$$ . sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – tan A) (sec A + tan A)
= sec2 A – tan2 A
= 1
[∵ sec2 A – tan2 A = 1]

ప్రశ్న 7.
(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
సాధన.
L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= (sin2 A + cosec2 A + 2 sin A. cosec A) + (cos2 A + sec2 A +
2 cos A . sec A)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab]
= (sin2 A + cos2 A) + cosec2 A + 2 sinA. $$\frac{1}{\sin A}$$ + sec2 A + 2 cos A · $$\frac{1}{\cos A}$$
[∵ $$\frac{1}{\sin A}$$ = cosec A; $$\frac{1}{\cos A}$$ = sec A]
= 1 + (1 + cot2 A) + 2 + (1 + tan2 A) + 2
[∵ sin2 A + cos2 A = 1]
cosec2 A = 1 + cot2 A
sec2 A = 1 + tan2 A]
= 7 + tan2 A + cot2 A = R.H.S.

ప్రశ్న 8.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) = (1 – cos2 θ) (1 + cot2 θ)
[∵ (a – b)(a + b) = a2 – b2]
= sin2 θ. cosec2 θ
[: 1 – cos2 θ = sin2 θ
1 + cot2 θ = cosec2 θ]
= sin2 θ . $$\frac{1}{\sin ^{2} \theta}$$ [∵ cosec θ = sin θ]
= 1

ప్రశ్న 9.
sec θ + tan θ = p ఐతే sec θ – tan θ విలువ ఎంత?
సాధన.
దత్తాంశము
sec θ + tan θ = p
sec2 θ – tan2 θ = 1 అను సర్వసమీకరణం ద్వారా
sec2 θ – tan2 θ = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
= p (sec θ – tan θ) = 1
(దత్తాంశము నుండి)
⇒ sec θ – tan θ = $$\frac{1}{p}$$

ప్రశ్న 10.
cosec θ + cot θ = k ఐతే сos θ = $$\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}$$ విలువ ఎంత?
సాధన.
పద్ధతి – I:
దత్తాంశము cosec θ + cot θ = k
R.H.S. = $$\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}$$

= $$\frac{2 \cot \theta(\cot \theta+cosec \theta)}{2 cosec \theta(\cot \theta+cosec \theta)}$$

= $$\frac{\cot \theta}{cosec \theta}$$

= $$\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta}}$$

= $$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1}$$
= cos θ = L.H.S.

పద్ధతి – II:
దత్తాంశము : cosec θ + cot θ = k ………………(1)
సర్వ సమీకరణం cosec2 θ – cot2 θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
[∵ a2 – b2 = (a – b)(a + b)]
⇒ k (cosec θ – cot θ) = 1
⇒ cosec θ – cot θ = $$\frac{1}{\mathrm{k}}$$ ……………… (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా