AP 10th Class Maths Question Paper April 2023 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers and AP 10th Class Maths Question Paper April 2023 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Question Paper April 2023 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

విద్యార్థులకు సూచనలు :

1. 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
2. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
3. ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
4. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
5. అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగాను, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.

ప్రశ్న 1.
12, 15 మరియు 21 ల క.సా.గు. కనుగొనండి.
సాధన:
12, 15 మరియు 21
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
క.సా.గు. = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
గ.సా.భా. = 3

ప్రశ్న 2.
A= {x : x అనేది 6 కంటే తక్కువైన సహజ సంఖ్య) ను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
జవాబు:
B = {1, 2, 3, 4, 5}

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిశీలించి, సరైన సమాధానమును ఎన్నుకొనండి.
ప్రవచనము (P) : వర్గ బహుపది యొక్క పరిమాణము 2.
ప్రవచనము (Q) : వర్గ బహుపది యొక్క గరిష్ఠ శూన్యముల సంఖ్య 2.
A) (P) మరియు (Q) రెండూ సత్యము.
B) (P) సత్యము, (Q) అసత్యము.
C) (P) అసత్యము, (Q) సత్యము.
D) (P) మరియు (Q) రెండూ అసత్యము.
జవాబు:
A) (P) మరియు (Q) రెండూ సత్యము.

ప్రశ్న 4.
ప్రకటన : 3x + 6y = 3900, x + 2y = 1300 సూచించే రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి మరియు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.
కారణం : a₁x + b₁y c₁ ; a₂x + b₂y
= c₂ మరియు \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
అయితే ఈ రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు.
సరైన సమాధానమును ఎన్నుకోండి.
A) ప్రకటన, కారణం రెండూ సత్యమే, కారణం ప్రకటనను సమర్థించును.
B) ప్రకటన, కారణం రెండూ సత్యమే, కానీ ప్రకటనను కారణం సమర్థించదు.
C) ప్రకటన సత్యం, కానీ కారణం అసత్యం.
D) ప్రకటన అసత్యం, కానీ కారణం సత్యం.
జవాబు:
A) ప్రకటన, కారణం రెండూ సత్యమే, కారణం ప్రకటనను సమర్థించును.

ప్రశ్న 5.
5x² – 6x – 2 = 0 సమీకరణానికి మూలాల సంఖ్య ___________ .
సాధన:
దత్త సమీకరణము 5x² – 6x – 2 = 0
విచక్షణి = b² – 4ac
= (- 6)² – 4(5) (- 2)
= 36 + 40 = 76 > 0
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాల సంఖ్య = 2

ప్రశ్న 6.
థేల్స్ సిద్ధాంతం నిర్వచించండి.
జవాబు:
థేల్స్ సిద్ధాంతం : ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరు వేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి.

ప్రశ్న 7.
వృత్తానికి ఒక వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీయగలిగే సమాంతర స్పర్శరేఖలు ఎన్ని ?
జవాబు:
రెండు స్పర్శరేఖలు

ప్రశ్న 8.
భుజము 4 సెం.మీ. గా కలిగిన సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన:
భుజము = a = 4 సెం.మీ.
సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం
V = a³ = 4³ = 64 20 సెం.మీ.

ప్రశ్న 9.
జతపరచండి.
P) sin θ
Q) cos θ
R) tan θ

i) \(\frac{1}{\sec \theta}\)
ii) \(\sqrt{\sec ^2 \theta-1}\)
iii) \(\sqrt{\frac{\sec ^2 \theta-1}{\sec ^2 \theta}}\)

సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనండి.
A) P → (i), Q → (ii), R → (iii)
B) P → (iii), Q → (i), R → (ii)
C) P → (iii), Q → (ii), R → (i)
D) P→ (i), Q → (iii), R → (ii)
జవాబు:
B) P → (iii), Q → (i), R → (ii)

ప్రశ్న 10.
“మీరు, మీ పాఠశాల భవనం అడుగు భాగం నుండి 20 మీటర్ల దూరంలో గల బిందువు నుండి భవనం పై భాగాన్ని 60° ఊర్థ్వకోణంతో పరిశీలించారు”. పై సందర్భానికి తగిన చిత్తుపటం గీయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 11.
P(E) = 0.05 అయిన ‘E’ కాదు యొక్క సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చినది : P(E) = 0.05
కనుక P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
0.05 + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
∴ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95.

ప్రశ్న 12.
2, 3, 7, 6, 6, 3, 8 దత్తాంశం యొక్క సగటు కనుగొనండి.
సాధన:
దత్తాంశము = 2, 3, 7, 6, 6, 3, 8
2సంఖ్యలు = 7
మొత్తము = 2 + 3 + 7 + 6 + 6 + 3 + 8 = 35
∴ సగటు = \(\frac{35}{7}\) = 5.

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
A = {3, 4, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} అయిన A∩B ని వెన్ చిత్రాలలో వివరించండి.
సాధన:

A = {3, 4, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9}
A∩B= {3, 4, 5, 6}∩{5, 6, 7, 8, 9}
= {5, 6}

ప్రశ్న 14.
6 పెన్సిళ్ళు మరియు 4 కలముల యొక్క మొత్తం వెల కౌ ₹ 50, అలాగే 5 పెన్సిళ్ళు మరియు 6 కలముల యొక్క మొత్తం వెల ₹ 46. పై ప్రవచనాలను రేఖీయ సమీకరణాల రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన:
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ x
∴ 6 పెన్సిళ్ళ వెల = 6 × ₹ x = ₹ 6x
∴ 5 పెన్సిళ్ళ వెల = 5 × ₹ x = ₹ 5x
ఒక కలము వెల = ₹ y
∴ 4 కలముల వెల = 4 × ₹ y = ₹ 4y
∴ 6 కలముల వెల = 6 × ₹ y = ₹ 6y
లెక్క ప్రకారం,
∴ 6x + 4y = 50
5x + 6y = 46

ప్రశ్న 15.
(x – 2)² + 1 = 2x – 3 ఒక వర్గ సమీకరణమా ? కాదా ? పరిశీలించండి.
సాధన.
LHS = (x – 2)² + 1
= x² – 4x + 4 + 1
= x² – 4x + 5
∴ (x – 2)² + 1 = 2x – 3
⇒ x² – 4x + 5 = 2x – 3
i.e., x² – 6x + 8 = 0
పై సమీకరణము ax² + bx + c = = 0 రూపంలో ఉన్నది. కనుక దత్త సమీకరణము ఒక వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 16.
అంకశ్రేఢిలో nవ పదంనకు సూత్రం వ్రాసి, అందలి పదాలను వివరించండి.
సాధన:
అంకశ్రేఢిలో nవ పదము
a_n : a + (n – 1) d
a : మొదటి పదము
d : సామాన్య భేదం

ప్రశ్న 17.
(7, 8) మరియు (-2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి.
సాధన:
A(x₁, y₁) = (7, 8), B(x₂, y₂) = (- 2, 3) రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
AB = \(\sqrt{(-2-7)^2+(3-8)^2}\)
= \(\sqrt{(-9)^2+(-5)^2}\)
= \(\sqrt{81+25}\)
AB = \(\sqrt{106}\)

ప్రశ్న 18.
Q అనే బిందువు నుండి వృత్తం మీదకు గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవు 24 సెం.మీ. మరియు వృత్త కేంద్రం నుండి Q బిందువుకు గల దూరం 25 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?
సాధన:

O – వృత్త కేంద్రము
OP – వృత్త వ్యాసార్ధము = ?
OQ = 25 సెం.మీ.
PQ = 24 సెం.మీ.
OQ² = OP² + PQ² [∵ కర్ణము² = ఆసన్న భుజము² + ఎదుటి భుజము²]
25² = OP² + 24²
OP² = 625 – 576
OP² = 49
OP = \(\sqrt{49}\) = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 19.
cos A = \(\frac{12}{13}\) అయిన sin A మరియు tan A లను కనుగొనండి.
సాధన:
sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 – cos²A
= 1 – (\(\frac{12}{13}\))²

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడు పర్యవసానాలలో క్రింది ఘటనలు ఏర్పడు సంభావ్యతను కనుగొనండి.
i) ప్రధాన సంఖ్య
ii) బేసి సంఖ్య
సాధన:
i) ఒక పాచికను ‘ఒకసారి దొర్లించినపుడు వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
అందు ప్రధాన సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {2, 3, 5} = 3
∴ ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత P(E) =  = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

ii) బేసిసంఖ్య లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5} = 3
∴ బేసిసంఖ్య అగుటకు సంభావ్యత P(E) = = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

విభాగం – III (8 × 4 = 32)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
2 log 5 + \(\frac{1}{2}\)log 9 – log 3 = log x అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనండి.
సాధన:
log x = 2log 5 + \(\frac{1}{2}\) log 9 – log 3
= log5² + log\(9^{\frac{1}{2}}\) – log 3
= log 25 + log √9 – log 3
= log 25 + log 3 – log 3
log x = log 25
∴ x = 25

ప్రశ్న 22.
– 3 మరియు 3 అనేవి x⁴ – 81 అనే బహుపదికి శూన్యాలో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన:
బహుపది p(x) = x⁴ – 81
బహుపది యొక్క శూన్యము p(x) = 0
x⁴ – 81 = 0 ⇒ x⁴ = 81
⇒ x = 4\(\sqrt{81}\) = \(\left(3^4\right)^{\frac{1}{4}}\) = ± 3
∴ -3 మరియు 3 అనేవి x⁴ – 81 అనే బహుపదికి శూన్యాలు.

ప్రశ్న 23.
క్రింది ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
3x + 2y = – 1 ; 2x + 3y =- 9
సాధన:
ఇచ్చినది,
3x + 2y = – 1 …….. (1)
2x + 3y = – 9 ……… (2)

⇒ y = \(\frac{25}{-5}\) = -5
∴ y = -5
y = – 5 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3x + 2(-5) = – 1
3x – 10 = 1
3x = 9
x = 3.

ప్రశ్న 24.
రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సంవత్సరములు పెద్దది. 3 సంవత్సరముల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం 360 అయిన రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గసమీకరణము రాయుము.
సాధన:
రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొంటే

లెక్క ప్రకారం 3 సం॥ల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల = 360
(x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 32x + 87 = 360
⇒ x² + 32x – 273 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ రోహన్ యొక్క వయస్సు అవుతుంది.

ప్రశ్న 25.
‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి బాహ్యంలో గల బిందువు ‘R’ గుండా స్పర్శరేఖను గీయండి. ఈ బిందువు నుండి మీరు ఎన్ని స్పర్శరేఖలను గీయగలరు ?
సాధన:
వృత్తానికి గల బాహ్యబిందువు నుండి రెండు స్పర్శరేఖలు గీయగలము.

ప్రశ్న 26.
స్థూపాకృతిలోనున్న నూనె పీపా 2 మీటర్ల భూ వ్యాసం, 7 మీటర్ల ఎత్తును కలిగియున్నది. పీపాకు రంగు వేయడానికి పెయింటరు 1 చదరపు మీటరుకు ₹ 3 లను తీసుకొంటుంటే, 10 నూనె పీపాలకు రంగు వేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన:

స్థూపాకృతిలో ఉన్న నూనె పీపా
భూ వ్యాసం = d = 2 మీ.
పీపా వ్యాసార్ధం = r = \(\frac{d}{2}\) = 1 మీ.
ఎత్తు = h = 7 మీ.
స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం
= 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1(1 + 7)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 8
= \(\frac{352}{7}\) = 50.28 చ.మీ.
1 చ.మీ.కు రంగు వేయుటకు ఖర్చు = రూ.3
అటువంటి 10 పీపాలకు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = 50.28 × 3 × 10. = రూ. 1508.40.

ప్రశ్న 27.
\(\frac{1-\tan ^2 A}{\cot ^2 A-1}\) = tan² A అని చూపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 28.
ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో కొంతమంది విద్యార్థుల బృందం 20 కుటుంబాలను సర్వే చేసి కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్యను ఈ క్రింది చూపిన పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపడమైనది.

ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని కనుగొనండి.
సాధన:

l = 3; f₀ = 7; f₁ = 8; f₂ = 2; h = 2
M = l + [latex]\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}[/latex]h
= 3 + [latex]\frac{8-7}{16-7-2}[/latex] (2)
= 3 + \(\frac{1}{7}\)(2) = 3 + \(\frac{2}{7}\)
= 3 + 0.28
= 3.28.

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. 1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
   2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
   3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) 6 + √2 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన:
6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 6 + √2 = \(\frac{a}{b}\) ; a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చు.
√2 = \(\frac{a}{b}\) – 6 = \(\frac{a-6 b}{b}\) ; a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a-6 b}{b}\) అకరణీయ సంఖ్య. కావున √2 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.
2వ పద్ధతి : 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం. అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య.
∴ (6 + √2) – 6 అకరణీయ సంఖ్య (∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం అకరణీయ సంఖ్య)
√2 అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.
(లేదా)
b) a_n క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a₁, a₂, a₃, …., a_n అంకశ్రేఢి అవుతుందని చూపండి మరియు ప్రతీ సందర్భంలో మొదటి 15 పదముల మొత్తంను కనుగొనండి.
i) a_n = 3 + 4n
ii) a_n = 9 – 5n
సాధన:
i) a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4 × 1 = 3 + 4 = 7
a₂ = 3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4 × 2 = 3 + 12 = 15
a₄ = 3 + 4 × 2 = 3 + 16 = 19
శ్రేఢి 7, 11, 15, ……
ఇక్కడ a = a₁ = 7; a₂ = 11; a₃ = 15, …
మరియు a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4;
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4;
ఇక్కడ d = 4
a₁, a₂, ………., a_n……. లు A.P. ను ఏర్పరుస్తాయి.
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2 × 7 + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\) = [14 + 14.4] = \(\frac{15}{2}\)[70]
= 15 × 35 = 525

ii) a_n = 9 – 5n
a_n = 9 – 5n
a₁ = 9 – 5 × 1 = 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
а₃ = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a₄ = 9 – 5 × 4 = 9 – 20 = 11
…………………………………………………………..
a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
a₃ – a₂ = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
a₄ – a₃ = – 11 – (- 6)
= – 11 + 6 = – 5
∴ d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = ……… = – 5
రెండు వరుస సంఖ్యల భేదము స్థిరముగా ఉన్నది. కనుక {a_n} A.P. ను ఏర్పరుస్తుంది.
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2 × 4 + (15 – 1) × (-5)]
= \(\frac{15}{2}\) [8 + 14(-5)] = \(\frac{15}{2}\) × – 62
= 15 × – 31 = – 465

ప్రశ్న 30.
a) 7 సెం.మీ. భుజముగా గల ఘనము నుండి ఏర్పరచగల్గే క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన:

ఇచ్చినవి :
ఘనం యొక్క భుజం
పొడు = శంఖువు యొక్క
ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ. r = 3.5 సెం.మీ.
శంఖువు వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ. [∵ r = \(\frac{d}{2}\) = \(\frac{7}{2}\) = 3.5]
∴ ఘనంలో ఏర్పర్చగలిగే శ్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ పరిమాణం
V = \(\frac{1}{3}\)πr²h = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 7
= \(\frac{22 \times 12.25}{3}\) = \(\frac{269.5}{3}\) = 89.8\(\overline{3}\)
∴ V ≅ 89.83 ఘ. సెం.మీ.
(లేదా)
b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 4, 5, 6, 7); C = {1, 3, 5, 7}; D = {2, 4, 6, 8} అయిన క్రింది వాటిని కనుగొనండి.
i) A∪B
ii) B∪C
iii) A∪D
iv) B – D
v) A∩B
vi) B∩D
vii) C∩D
viii) A – D
సాధన:
ఇచ్చినది
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {1, 3, 5, 7}
D = {2, 4, 6, 8}

i) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5) ∪ {3, 4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ii) B∪C {3, 4, 5, 6, 7}∪{1, 3, 5, 7}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7}

iii) A∪D = {1, 2, 3, 4, 5}∪{2, 4, 6, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

iv) B – D = {3, 4, 5, 6, 7} – {2, 4, 6, 8}
= {3, 5, 7)

v) A∩B = {1, 2, 3, 4, 5}∩{3, 4, 5, 6, 7}
= {3, 4, 5}

vi) B∩D (3, 4, 5, 6, 7} n (2, 4, 6, 8)
= {4, 6}

vii) C∩D = {1, 3, 5, 7}∩{2, 4, 6, 8} = { }

viii) A – D = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5}

ప్రశ్న 31.
a) క్రింది విభాజన పట్టికలో 30 మంది విద్యార్థుల బరువు ఇవ్వబడ్డాయి. వారి బరువుల మధ్యగతం కనుగొనండి.

సాధన:

∴ మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-c . f\right)}{f}\) × c
l = 50, \(\frac{n}{2}\) = 15, c.f. = 5, f = 8, h = 5
∴ మధ్యగతము = 50 + \(\frac{(15-5)}{8}\) × 5
= 50 + \(\frac{50}{8}\)
= 50 + 6.25 = 56.25
∴ మధ్యగతము = 56.25
∴ 30 మంది విద్యార్థుల బరువులు మధ్యగతం = 56.25 కి.గ్రా.
(లేదా)
b) బిందువులు A(1, 2), B(-1, b), C(-3, -4) సరేఖీయాలైతే ‘b’ విలువను కనుగొనండి.
సాధన. బిందువులు A(1, 2), B(-1, b), C(-3, -4) సరేఖీయాలైన ఆ బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యం = 0
ΔABC = 0 చ„యూ॥
x₁ = 1, y₁ = 2, x₂ = – 1, y₂ = b,
x₃ = – 3, y₃ = – 4
⇒\(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)| = 0
\(\frac{1}{2}\) 1(b + 4 ) + ( 1) (- 4 – 2) + (- 3)(2 – b)| = 0
|b + 4 + 6 – 6 + 3b| = 0
|4b + 4| = 0
4b + 4 = 0 ⇒ b = \(\frac{-4}{4}\)
∴ b = – 1

ప్రశ్న 32.
a) 1.5 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక బాలుడు 30 మీటర్ల ఎత్తు గల గుడి పై కొనను కొంత దూరం నుండి పరిశీలిస్తున్నాడు. ఇతడు ఉన్నచోటు నుండి ముందుకు నడిచిన గుడి గోపురం కొన అతడి కంటితో చేయు కోణం 30° నుండి 60° మారింది. అతడు నడిచిన దూరం ఎంత ?
సాధన:

పటం నుండి,
AB గుడి యొక్క ఎత్తు = 30 మీ.
DC = AF = బాలుని ఎత్తు = 1.5 మీ.
‘D’ మొదటి పరిశీలన స్థానము.
‘E’ రెండవ పరిశీలన స్థానము.
DE = x మీ,
ఊర్థ్వకోణములు ∠BDF = 30° మరియు
∠BEF = 60° అనుకొనుము.
DE = x మరియు EF = y అనుకొనుము.
BF = AB – AF
= 30 – 1.5
= 28.5 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజం ΔBDF లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{DF}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x+y}\)
⇒ x + y = 28.5√3 ………… (1)
లంబకోణ త్రిభుజం BEF లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{DF}}\)
⇒ √3 = \(\frac{28.5}{y}\)
⇒ y = \(\frac{28.5}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{28.5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
y = \(\frac{28.5 \sqrt{3}}{3}\)
y = 9.5√3
∴ x + 9.5√3 = 28.5√3
∴ x = 28.5√3 – 9.5√3
∴ x = 19√3
= 19 (1.732) = 32.908 మీ.
∴ బాలుడు నడచిన దూరము = 32.908 మీ.
(లేదా)
b) బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డు తీస్తే అది ఈ క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యత లెక్కించండి.
i) ఎరుపు రాజు
ii) ముఖ కార్డు
iii) హృదయం గుర్తు గల జాకీ
iv) స్పేడ్
సాధన:
మొత్తం పేక కార్డుల సంఖ్య = 52 యాదృచ్ఛికంగా పేక కట్ట నుండి ఒక కార్డును తీయుటకు గల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52

(i) పేక కట్ట నుండి “ఎరుపు రాజు” కార్డును తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2 (♥K, ♦K)
∴ ఎరుపు రాజు కార్డును పొందుటకు గల సంభావ్యత

(ii) ముఖకార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 4 × 3 = 12 (K, Q, J)
∴ ముఖ కార్డు యాదృచ్ఛికంగా పొందు సంభావ్యత

iii) హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంఖ్య = 1
∴ హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంభావ్యత

iv) స్పేడ్ కార్డుల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందు సంభావ్యత

ప్రశ్న 33.
a) 5 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ.
సాధన:
కొలతలతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు 2/3 రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.

నిర్మాణ సోపానాలు :
1) AB = 5 సెం.మీ., BC = 6 సెం.మీ మరియు CA = 5 సెం.మీ.ల కొలతలతో ΔABC ను నిర్మించుము.
2) BC భుజానికి శీర్షం ‘A’ ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
3) ఈ BX పై BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃ లను గుర్తించుము.
4) B₃, C లను కలుపుము…
5) B₂ గుండా B₃C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
6) A′ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BAను A’ వద్ద ఖండించును.
7) కావున ΔA’BC’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
(లేదా)
b) p(x) = x² – 3x – 4 బహుపదికి రేఖాచిత్రం గీయండి మరియు ఆ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన:
y = x² – 3x – 4 అనుకొనుము
y = x² – 3x – 4 గీయుటకు బిందువులను కనుగొనుము.
y = x² – 3x – 4

పై వక్రం X-అక్షంను (-1, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
∴ బహుపది శూన్యాలు = -1 మరియు 4.