Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 8 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.
AP 10th Class Maths Model Paper Set 8 with Solutions in Telugu
Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100
విద్యార్థులకు సూచనలు :
- 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
- ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
- నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
- అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగాను, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.
విభాగం – I (12 × 1 = 12)
సూచనలు :
- క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
- ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.
ప్రశ్న 1.
\(\frac{7}{2^2 \times 5}\) యొక్క దశాంశ రూపం రాయుము.
సాధన:
\(\frac{7}{2^2 \times 5}\) = \(\frac{7 \times 5}{2^2 \times 5^2}\) = \(\frac{35}{10^2}\) = 0.35
ప్రశ్న 2.
జతపరుచుము :
i) A⊂B అయిన A∩B
ii) A, B లు వియుక్త సమితులు అయిన A∩B =
iii) A⊂B అయిన A∪B =
(a) A
(b) B
(c) Φ
A) i → b, ii → a, iii → c
B) i → b, ii → c, iii → a
C) i → a, ii → c, iii → b
D) i → a, ii → b, iii → c
జవాబు:
B) i → b, ii → c, iii → a
ప్రశ్న 3.
ఇవ్వబడిన గ్రాఫు నుండి బహుపది p(x) యొక్క శూన్యాలు కనుగొనుము.
జవాబు:
p(x) యొక్క శూన్యాలు – 2, 3.
ప్రశ్న 4.
భావన : x2 – 4x + 4 = 0 కు రెండు సమాన మూలాలు కలవు.
కారణము : ax2 + bx + c = 0 సమీకరణానికి సమాన మూలాలు ఉన్నచో b2 – 4ac = 0 అగును.
A) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ.
B) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ కాదు.
C) భావన సత్యం, కారణము అసత్యం.
D) భావన అసత్యం, కారణము సత్యం.
జవాబు:
A) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ.
ప్రశ్న 5.
లాలస 2 పెన్నులు మరియు 5 పెన్సిళ్లను ₹30కొన్నది.. ఈ సమాచారాన్ని రేఖీయ సమీకరణాల జతగా x, y లలో రాయండి.
జవాబు:
2x + 5y = 30
(x = పెన్ను వెల, y = పెన్సిలు వెల)
ప్రశ్న 6.
3, 3√2, 6, 6√2, …………… గుణశ్రేఢి యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి రాయండి.
సాధన:
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_2}{a_1}\) = \(\frac{3 \sqrt{2}}{3}\) = √2
ప్రశ్న 7.
(-4, -3) మరియు (-8, -3) బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
దూరము = |x2 – x1= |(- 8) – (- 4)|
= |-4| = 4 యూ॥.
ప్రశ్న 8.
ప్రవచనము P : ΔABC లో AB2 + BC2 = AC2
అయిన ∠B = 90°
ప్రవచనము Q : tan A = \(\frac{3}{4}\) అయిన cot A = \(\frac{5}{4}\)
A) P మరియు Qలు రెండూ సత్యం
B) P అసత్యం, Q సత్యం
C) P సత్యం, Q అసత్యం
D) P మరియు Q లు రెండూ అసత్యం
జవాబు:
C) P సత్యం, Q అసత్యం
ప్రశ్న 9.
ఇవ్వబడిన పటంలో ∠APO = 45° వృత్తకేంద్రము ‘O’ మరియు స్పర్శరేఖ AP = 4 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధము.
జవాబు:
4 సెం.మీ.
ప్రశ్న 10.
\(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\) విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
\(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\) = \(\frac{\tan (90-54)^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\) = \(\frac{\cot 54^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\) = 1 [∵ tan (90 – θ) = cot θ]
ప్రశ్న 11.
P(E) = 0.52 అయిన P(\(\bar{E}\)) = …………….
సాధన:
P(\(\bar{E}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.52 = 0.48.
ప్రశ్న 12.
x, \(\frac{x}{2}\), \(\frac{x}{3}\), \(\frac{x}{4}\), \(\frac{x}{5}\) ల మధ్యగతం 5 అయిన x విలువ కనుగొనుము.
సాధన:
x, \(\frac{x}{2}\), \(\frac{x}{3}\), \(\frac{x}{4}\), \(\frac{x}{5}\) ల మధ్యగతము 5.
మధ్యగతము \(\frac{x}{3}\) = 5 ⇒ x = 15.
విభాగం – II (8 × 2 = 16)
సూచనలు :
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.
ప్రశ్న 13.
60 మరియు 100 ల గ.సా.భాను యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ద్వారా కనుగొనుము.
సాధన:
యూక్లిడ్ భాగహార శేషవిధి a = bq + r
100 = 60 × 1 + 40
60 = 40 × 1 + 20
40 = 20 × 2 + 0
∴ 100 మరియు 60 ల గ.సా.భా 20.
ప్రశ్న 14.
(1) A∩B, (ii) A – B 35 వెన్ చిత్రాలలో చూపుము.
సాధన:
ప్రశ్న 15.
p(x) = 4x2 + 3x – 1 \(\frac{1}{4}\) మరియు -1 శూన్యాలు అగునో ! కాదో ! సరిచూడుము.
సాధన:
4x2 + 3x – 1
p(\(\frac{1}{4}\)) = 4(\(\frac{1}{4}\)) + 3(\(\frac{1}{4}\)) – 1
= 4 × \(\frac{1}{16}\) + \(\frac{3}{4}\) – 1 = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) – 1 = 1 – 1 = 0
p(-1) = 4(-1)2 + 3(-1) – 1
= 4 – 3 – 1 = 4 – 4 = 0
∴ \(\frac{1}{4}\) మరియు -1 లు p(x)కి శూన్యాలు అవుతాయి.
ప్రశ్న 16.
sinθ ని sec θ లలో తెలుపుము.
సాధన:
sin2 θ + cos2 θ = 1
⇒ sin2 θ = 1 – cos2 θ = 1 – \(\frac{1}{\sec ^2 \theta}\)
⇒ sin2 θ = \(\frac{\sec ^2 \theta-1}{\sec ^2 \theta}\)
So, sin θ = \(\sqrt{\frac{\sec ^2 \theta-1}{\sec ^2 \theta}}\) = \(\frac{\sqrt{\sec ^2 \theta-1}}{\sec \theta}\)
(లేదా)
tan θ = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) ⇒ sin θ = tan θ · cos θ = \(\sqrt{\sec ^2 \theta-1}\) × \(\frac{1}{\sec \theta}\)
sin θ = \(\frac{\sqrt{\sec ^2 \theta-1}}{\sec \theta}\)
ప్రశ్న 17.
పరిశీలకుని నుండి ‘y’ మీటర్ల దూరంలోనున్న ఒక క్లాక్వరు యొక్క పైకొన x° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి.
సాధన:
AB = క్లాక్ టవర్
ప్రశ్న 18.
12 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము గల వృత్తానికి, దాని కేంద్రం నుండి 15 సెం.మీ. దూరంలో ఒక బిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనండి.
సాధన:
OP = 15 సెం. మీ. మరియు OA = 12 సెం.మీ.
స్పర్శరేఖ పొడవు AP = ?
OP2 = OA2 + PA2
152 = 122 + PA2
225 – 144 = PA2
81 = PA2
PA = \(\sqrt{81}\) = 9
∴ PA = 9 సెం.మీ..
స్పర్శరేఖ పొడవు = 9 సెం.మీ.
(లేదా)
d = 15 సెం.మీ., r = 12 సెం.మీ.
స్పర్శరేఖ పొడవు
PA = \(\sqrt{d^2-r^2}\) = \(\sqrt{15^2-12^2}\)
= \(\sqrt{225-144}\) = \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.
ప్రశ్న 19.
మధ్యగతంను కనుగొనుటకు సూత్రము రాసి అందలి పదాలను వివరించండి ?
సాధన:
మధ్యగతము (M) = l + (\(\frac{\frac{n}{2}-\text { c.f }}{f}\)) × h
ఇందులో
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు
n = దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య
cf = మధ్యగత తరగతికి ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యము
f = మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
h = మధ్యగత తరగతి పొడవు
ప్రశ్న 20.
బాగుగా కలుపబడిన పేకముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డు తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతను లెక్కించండి (i) ముఖకార్డు (ii) ఎరుపు
రాజు.
సాధన:
పేక కట్టలోని కార్డుల సంఖ్య n(S) = 52
i) ముఖకార్డు
మొత్తం ముఖకార్డుల సంఖ్య n(F) = 12
ii) ఎరుపు రాజు (K) = 2
∴ P(K) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{K})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)
విభాగం – III (8 × 4 = 32)
సూచనలు :
- క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
- ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.
ప్రశ్న 21.
x2 + y2 = 6xy అయిన 2 log (x + y) = 3 log 2 + log x + log y అని నిరూపించండి.
సాధన:
x2 + y2 = 6xy
x2 + y2 + 2xy = 6xy + 2xy
(x + y)2 = 8xy
ఇరువైపులా log తీసుకొనగా
log (x + y)2 = log8xy
⇒ 2log(x + y)= log8 + logx + logy
[∵ logxm = m logx]
[∵ logxy = logx + logy]
= log23 + logx + logy
∴ 2log(x + y) = logx + logy + 3log2
ప్రశ్న 22.
\(\frac{1}{2}\) మరియు \(\frac{3}{2}\) శూన్యాలుగా గల వర్గబహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన:
α = \(\frac{1}{2}\) మరియు β = \(\frac{3}{2}\)
α + β = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
α.β = (\(\frac{1}{2}\)) (\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x2 – (α + β) x + αβ]
k[x2 – 2x + \(\frac{3}{4}\)] = k [latex]\frac{4 x^2-8 x+3}{4}[/latex]
∴ k = 4 p(x) = 4x2 – 8x + 3.
ప్రశ్న 23.
రెండు సంఖ్యల మొత్తము 26 మరియు గా గల సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన:
మొదటి సంఖ్య = x
రెండవ సంఖ్య = 26 – x
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = 165
∴ x (26 – x)= 165
⇒ 26x = x2 = 165 ⇒ x2 – 26x + 165 = 0
⇒ x2 – 15x – 11x + 165 = 0
⇒ x(x – 15) -11 (x – 15) = 0.
⇒ (x – 15) (x – 11) = 0
⇒ x – 15 = 0 (లేదా) x – 11 = 0
∴ x = 15 (లేదా) x = 11
మొదటి సంఖ్య x = 15,
రెండవ సంఖ్య = 26 – x = 26 – 15 = 11
మొదటి సంఖ్య x = 11
రెండవ సంఖ్య = 26 – x = 26 – 11 = 15
ప్రశ్న 24.
x, x + 2, x + 6 లు గుణశ్రేఢిలోని వరుస సంఖ్యలు అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణశ్రేఢిలో వరుస పదాలు
∴ \(\frac{x+2}{x}\) = \(\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)2 = x(x + 6)
x2 + 4x + 4 = x2 + 6x
x2 + 4x – x2 – 6x = – 4
– 2x = – 4
2x = 4
x = \(\frac{4}{2}\) = 2
సరిచూచుట x, x + 2, x + 6
2, 4, 8 లు G.P. లో కలవు.
ప్రశ్న 25.
శంఖువు భూ వైశాల్యము 616 చ.సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 48 సెం. మీ. అయిన శంఖువు సంపూర్ణతల వైశాల్యము కనుగొనుము.
సాధన:
శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం = సెం.మీ. అనుకొనుము. మరియు ఎత్తు = h = 48 సెం.మీ.
∴ శంఖువు భూ వైశాల్యం = πr2
\(\frac{22}{7}\) × r2 = 616 సెం.మీ2
= 28 × 7 = 2 × 7 × 2 × 7 = 142
∴ శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
= \(\sqrt{14^2+48^2}\) = \(\sqrt{196+2304}\) = \(\sqrt{2500}\)
∴ l = 50 సెం.మీ.
శంఖువు సం||తల వైశాల్యము = నేల వైశాల్యము + ప్రక్కతల వైశాల్యము
πr2 + πrl = πr(r + l)
\(\frac{22}{7}\) × 14 × (14 + 50)
∴ ఆ శంఖువు సం॥తల వైశాల్యము = 2816 సెం.మీ 2
ప్రశ్న 26.
A(6, 5) మరియు B(-4, 3) లకు సమానదూరంలో Y-అక్షంపై ఉన్న బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన:
Y-అక్షంపై గల బిందువు (0, y) రూపంలో ఉంటుంది..
∴ A (6, 5) మరియు B (-4, 3) ‘బిందువులకు. సమాన దూరంలో Y- అక్షంపై నున్న బిందువు P(0, y) అనుకొందాము.
PA = PB ⇒ PA2 = PB2
y2 – 10y + 61 = y2 – 6y + 25
y2 – 10y + 61 – y2 + 6y – 25 = 0
– 4y + 36 = 0 ⇒ 4y = 36
∴ y = \(\frac{36}{4}\) = 9
∴ కావలసిన బిందువు P(0, y) = (0,9).
సరిచూచుట : AP = \(\sqrt{(6-0)^2+(5-9)^2}\)
= \(\sqrt{36+16}\) = \(\sqrt{52}\)
BP = \(\sqrt{(-4-0)^2+(3-9)^2}\) = \(\sqrt{16+36}\) = \(\sqrt{52}\)
ప్రశ్న 27.
“వృత్తానికి బాహ్యబిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శ రేఖల పొడవులు సమానము” అని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్తాంశము : ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి, P అనే బిందువు బాహ్యంలో కలదు. P బిందువు గుండా వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA మరియు PB
(పటం చూడండి)
సారాంశము : PA = PB
ఉపపత్తి : OA, OB మరియు OP లను కలపండి.
∠OAP = ∠OBP = 90°
ఇప్పుడు ΔOAP మరియు ΔOBP లలో,
OA = OB (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
OP = OP (ఉమ్మడి భుజము)
అందువలన లం.క.భు సర్వసమాన స్వీకృతం ప్రకారము
ΔOAP ☐ ΔOBP అయినది.
దీని నుండి PA = PB అగును (సర్వసమాన త్రిభుజాలలో సరూపభాగాలు) నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 28.
120 అడుగుల వెడల్పైన రోడ్డుకు ఇరువైపుల సమాన ఎత్తు కలిగిన రెండు స్తంభాలు నిలబెట్టబడి ఉన్నాయి. వాటి మధ్యలో ఉన్న రోడ్డుపై ఒక బిందువు నుండి వాటి పై భాగాలను పరిశీలించిన అవి 60° మరియు 30° ఊర్థ్వకోణాలు చేస్తున్నాయి. అయిన ఆ స్థంభాల ఎత్తు కనుగొనుము మరియు ప్రతి స్తంభము అడుగు భాగం నుండి బిందువుకు గల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన:
పటం నుండి,
AB = రోడ్డు వెడల్పు = 120 అడుగులు.
AE = BD = సమాన ఎత్తులు గల రెండు స్థంభాలు = h మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు. ఊర్థ్వకోణములు
∠BCD = 60° మరియు ∠ACE = 30°
BC = x అయిన AC = AB – BC = (120 – x) మీ.
ΔACE లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{120-x}\)
⇒ h√3 = 120 – x
⇒ h√3 + x = 120 ……………. (1)
ΔBCD లో,
tan60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{x}\) ⇒ h = √3x ……….. (2)
h = √3x ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
(√3x)√3 + x = 120
⇒ 3x + x = 120 ⇒ 4x = 120
⇒ x = \(\frac{120}{4}\) = 30 అడుగులు
మొదటి స్థంభం నుండి పరిశీలన బిందువుకు గల దూరం. (x) = 30 మీ.
x = 30 ను సమీకరణం (2) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
h = 30√3 = 30(1.732) = 51.96
∴ h = 51.96 మీ.
విభాగం – IV (5 × 8 = 40)
సూచనలు :
- క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
- ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
- ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.
ప్రశ్న 29.
a) ఒక ఘనబహుపది p(x) = x3 + 3x2 – x – 3 యొక్క శూన్యాలు 1, -1 మరియు -3 అగునని సరిచూపడండి. ఇదే విధంగా బహుపది గుణకాలకు,
శూన్యాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన:
p(x) = x3 + 3x2 – x – 3
p(1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) – 3
1 + 3 – 1 – 3 = 4 – 4
p(1) = 0 ________ (1)
p(-1) = (-1)3 + 3(-1)2 – (- 1) – 3
= – 1 + 3 + 1 – 3 = – 4 + 4
p(-1) = 0 ________ (2)
p(-3) = (- 3)3 + 3 (- 3)2 – (- 3) -3
= – 27 + 27 + 3 – 3 – 30 + 30
p(-3) = 0 _________ (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
p(1) = 0
p(-1) = 0
p(-3) = 0 కావున p(x) కు 1, -1, -3 లు
శూన్య విలువలు అవుతాయి.
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β + γ = 1 + (-1) + (-3)
= -3 = \(\frac{-3}{1}\) =
రెండేసి శూన్య విలువల లబ్ధాల మొత్తం :
αβ + βγ + αγ
= (1) (-1) + (-1) (-3) + (1) (-3)
= – 1 + 3 – 3 = -1 = \(\frac{-1}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ = (1) (-1) (-3)
= 3 = \(\frac{-(-3)}{1}\) =
(లేదా)
b) ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయబడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన:
“దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x (x – 3) చ. యూ. త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3)= 6 (x – 3) + 4
x2 – 3x = 6x – 18 + 4
x2 – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
∴ x2 – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి
∴ x = \(\frac{9+5}{2}\) = \(\frac{14}{2}\) = 7 లేదా
x = \(\frac{9-5}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు
x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు
x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ. ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴ దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.
సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = × 12 = 24 చ.మీ
ప్రశ్న 30.
a) A = {x: x ఒక సరి సహజ సంఖ్య},
B = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య},
C = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య),
D = {x : x అనేది 5 యొక్క గుణిజం) అయిన
(i) A∪B
(ii) A∩B
(iii) C – D
(iv) A∩C విలువలను కనుగొనుము.
సాధన:
A = {2, 4, 6, 8, 10, ……..}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ……..}
C = {2, 3, 5, 7, 11, ……..}
D = {5, 10, 15, 20, 25, ……..}
i) A∪B = {2, 4, 6, 8, 10, …….}∪{1, 3, 5, 7, 9, 11, …….}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……}
ii) A∩B = {2, 4, 6, 8, 10, ……}∩{1, 3, 5, 7, 9, 11} = { } = Φ
iii) C – D = {2, 3, 5, 7, 11, ………} – {5, 10, 15, 20, 25, …….} = {2, 3, 7, 11, ……..}
iv)A∩C = {2, 4, 6, 8, 10, ……} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, ……….} = {2}
(లేదా)
b) ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో పిల్లల రోజువారి చేతి ఖర్చుల వివరాలు క్రింది పౌనఃపున్యము విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి. పిల్లల సగటు చేతి ఖర్చు ₹18 అయిన క్రింది పట్టికలో లోపించిన పౌనఃపున్యము (f) ను కనుగొనుము.
సాధన:
పిల్లల రోజువారి చేతిఖర్చు రూ. | పిల్లల సంఖ్య (fi) | xi | fixi |
11 – 13 | 7 | 12 | 84 |
13 – 15 | 6 | 14 | 84 |
15 – 17 | 9 | 16 | 144 |
17 – 19 | 13 | 18 | 234 |
19 – 21 | f | 20 | 20f |
21 – 23 | 5 | 22 | 110 |
23 – 25 | 4 | 24 | 96 |
Σfi = 44 + f | Σfixi = 752 + 20f |
దత్తాంశం యొక్క సగటు \(\overline{\mathbf{x}}\) = 18
పౌనఃపున్యం యొక్క విలువ (f) = ?
∴ Σfi = 44 + f
Σfixi = 752 + 20f
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
⇒ \(\frac{752+20 f}{44+f}\) = 18
⇒ 752 + 20f = 792 + 18f
⇒ 2f = 40
∴ లోపించిన పౌనఃపున్యం (f) = 20.
ప్రశ్న 31.
a) ఒక అంకశ్రేఢిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తం 24 మరియు 6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44 అయిన అంకశ్రేఢిలోని మొదటి 3 పదాలను కనుగొనుము.
సాధన:
అంకశ్రేఢిలో 4వ పదం a4 = a + 3d
అంకశ్రేఢిలో 8వ పదం ఖ్య = a8 = a + 7d
4వ మరియు 8వ పదముల మొత్తం = 24
a4 + ag = 24
a + 3d + a + 7d = 24
2a + 10d = 24 ……………. (1)
6వ పదం a6 = a + 5d
10వ పదం a10 = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదముల మొత్తం = 44
∴ a6 + a10 = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44 …………. (2)
(2) – (1) ⇒
∴ d = \(\frac{20}{4}\) = 5
d = 5 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2a + 10(5) = 24
2a + 50 = 24
2a = 24 – 50 = – 26
∴ a = \(\frac{-26}{2}\) = -13
∴ a = -13 మరియు d = 5
∴ అంకశ్రేఢిలో మొదటి 3 పదాలు a, a + d, a + 2d
= -13, 135, -13 + 2(5), …….
= -13, -8, -3, ……….
(లేదా)
b) బిందువులు (5, −6) మరియు (−1, -4) లచే ఏర్పడు రేఖా ఖండమును Y -అక్షము ఏ నిష్పత్తిలో విభజించును ? ఆ ఖండన బిందువు కనుగొనండి.
సాధన:
బిందువులు A(5, -6) మరియు B(- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము AB ని Y – అక్షంపైనున్న బిందువు P(0, y), m1 : m2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందను కొంటే
P(0, y) = (\(\frac{m_1(-1)+m_2(5)}{m_1+m_2}\), \(\frac{m_1(-4)+m_2(-6)}{m_1+m_2}\))
(0, y) = (\(\frac{-m_1+5 m_2}{m_1+m_2}\), \(\frac{-4 m_1-6 m_2}{m_1+m_2}\))
⇒ \(\frac{-m_1+5 m_2}{m_1+m_2}\) = 0
⇒ -m1 + 5m2 = 0
⇒ -m1 = -5m2
⇒ m1 = 5m2
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}\) = \(\frac{5}{1}\)
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = m1 : m2 = 5 : 1
ప్రశ్న 32.
a) 30 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక గుడి పై భాగాన్ని, దాని ఇరువైపులా నున్న ఇద్దరు వ్యక్తులు 30° మరియ 60° ఊర్ధ్వకోణాలలో పరిశీలించారు. ఆ ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య
దూరం ఎంత ?
సాధన:
పటము నుండి దేవాలయం ఎత్తు BD = 30 మీటర్లు
మొదటి వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్థ్వకోణం ∠BAD = 30°
రెండవ వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BCD = 60°
ΔBAD నుండి tan 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\mathrm{AD}}\) ⇒ AD = 30√3 ………… (1)
ΔBCD నుండి tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\)
√3 = \(\frac{30}{\mathrm{DC}}\)
⇒ DC = \(\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
DC = \(\frac{30 \sqrt{3}}{3}\) = 10√3
⇒ DC = √3 ………….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
AC = AC + DC = 30√3 + 10√3
= 40√3 మీటర్లు
(లేదా)
b) స్తూపాకార నూనె పీపా వ్యాసము 2 మీ. మరియు ఎత్తు 7 మీ. అయిన ఆ పీపాకి రంగు వేయుటకు చ.మీటరుకు ₹ 3 ఖర్చు అగును. అయిన 10 నూనె పీపాలకు రంగు వేయుటకు అగు ఖర్చు ఎంత ?
సాధన:
స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క భూవ్యాసము
(d) = 2 మీటర్లు
స్థూపము వ్యాసార్ధము (r) = \(\frac{d}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1 మీటరు.
స్థూపాకార ఎత్తు (h) = 7 మీ.
స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క
సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2 × πr (r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1(1 + 7)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 8
= \(\frac{352}{7}\)(మీటరు)2 = 50.28 (మీటరు)2
అందుచే పీపా యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 50.28 (మీటరు)2
1చ.మీ.కు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹3
:.10 పీపాలకు రంగు వేయడానికయ్యే
మొత్తం ఖర్చు
= 50.28 × 3 × 10
= ₹1508.4.
ప్రశ్న 33.
a) క్రింద ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను రేఖాచిత్ర పద్ధతి (గ్రాఫుపద్ధతి)లో సాధించండి.
3x + 2y = 8; 2x – 3y = 1
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణాలు 3x + 2y = 8 మరియు 2x – 3y = 1
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{3}{2}\); \(\frac{b_1}{b_2}\) \(\frac{2}{-3}\); \(\frac{a_1}{a_2}\) ≠ \(\frac{b_1}{b_2}\)
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు.
3x + 2y = 8 | ||
x | 2 | 4 |
y | 1 | -2 |
(x, y)) | (2, 1) | (4, -2) |
2x – 3y = 1 | ||
x | 2 | 5 |
y | 1 | 3 |
(x, y)) | (2, 1) | (5, -2) |
ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది. ∴ (x, y) = (2, 1)
(లేదా)
b) AB = 5 సెం.మీ. BC = 6 సెం.మీ. మరియు AC = 4.5 సెం.మీ. కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు \(\frac{3}{5}\) రేట్ల అనురూప భుజాలు గల కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన:
నిర్మాణ సోపానాలు :
1) AB = 5 సెం.మీ., BC = 6 సెం.మీ. మరియు AC = 4.5 సెం.మీ. కొలతలతో ΔABC ని నిర్మించుము.
2) AB భుజానికి శీర్షము C ఉన్నవైపునకు వ్యతిరేఖ దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) కిరణమును గీయుము.
3) ఈ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) పై AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 అగునట్లు 5 బిందువులు A1, A2, A3, A4, A5 లను గుర్తించుము.
4) A5B లను కలుపుము.
5) A5B లకి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు A3 వద్ద రేఖను గీయగా అది AB ని B’ వద్ద ఖండించును.
6) B’ గుండా BC కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ AC ని C’ వద్ద ఖండించును.
7) ΔAB’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.