AP 10th Class Maths Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 6 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

విద్యార్థులకు సూచనలు :

1. 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
2. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
3. ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
4. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
5. అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగాను, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.

ప్రశ్న 1.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{9}{15}\) ఒక అంతమయ్యే దశాంశము
B) log 2 అకరణీయ సంఖ్య
C) రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్యయే
D) పైవన్నీ
జవాబు:
A) \(\frac{9}{15}\) ఒక అంతమయ్యే దశాంశము

ప్రశ్న 2.
A⊂B అగునట్లు రెండు సమితులు A మరియు Bలను రాయండి.
జవాబు:
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}

ప్రశ్న 3.
α, β మరియు γ లు p(x) = x³ + 3x² – x – 2 యొక్క శూన్యాలు అయిన కింది వానిని జతపరుచుము.
i) α + β + γ
ii) αβ + βγ + γα
iii) αβγ

(a) 2
(b) -3
(c) -1

A) i → a, ii → c, iii → b
B) i → b, ii → c, iii → a
C) i → b, ii → a, iii → c
D) i → a, ii → b, iii → c
జవాబు:
B) i → b, ii → c, iii → a

ప్రశ్న 4.
గుణశ్రేఢిలో ౧ వ పదం a_n = 3 . (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1} అయిన సామాన్య నిష్పత్తి …………………
జవాబు:
\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 5.
వృత్తకేంద్రం (0, 0) మరియు బిందువు (3, 4) గుండా వెళ్ళుచున్న ఆ వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన:
వృత్త వ్యాసార్ధము
= (0, 0) మరియు (3, 4) బిందువుల మధ్య దూరము
= \(\sqrt{3^2+4^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = \(\sqrt{25}\)
= 5 యూనిట్లు

ప్రశ్న 6.
ఇవ్వబడిన పటం నుండి ΔPQR ~ ΔSUT అయిన x విలువ ఎంత ?

సాధన:
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{SU}}\) = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{UT}}\) ⇒ \(\frac{3}{4.5}\) = \(\frac{4}{x}\)
∴ x = \(\frac{4 \times 4.5}{3}\) = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
క్రింది వానిలో కేంద్రీయ స్థానవిలువ కానిది ఏది ?
A) అంకమధ్యమము
B) బాహుళకము
C) వ్యాప్తి
D) మధ్యగతము
జవాబు:
C) వ్యాప్తి

ప్రశ్న 8.
ప్రవచనము (I) : ఖచ్చిత ఘటన యొక్క సంభావ్యత ‘సున్నా’0’.
ప్రవచనము (II) : E ఒక ఘటన అయిన P(E) + P(E) = 1.
A) I మరియు II రెండు ప్రవచనాలు సత్యము.
B) ప్రవచనము I సత్యం, ప్రవచనము II అసత్యం.
C) ప్రవచనము I అసత్యం, ప్రవచనము II సత్యం.
D) I మరియు II రెండు ప్రవచనాలు అసత్యం.
జవాబు:
C) ప్రవచనము I అసత్యం, ప్రవచనము II సత్యం.

ప్రశ్న 9.
అల్ప వృత్తఖండమును సూచించే చిత్రపటమును గీయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 10.
log₃ (2 + tan 45°) విలువ ఎంత ?
సాధన:
log₃ (2 + tan 45°) = log₃ (2 + 1) = log₃ 3 = 1
(∵ tan 45° = 1)

ప్రశ్న 11.
అర్ధగోళం వ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ.లుగా గల అర్ధగోళం ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన:
అర్ధగోళం ఘనపరిమాణము V = \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (7)³
= \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= \(\frac{2.156}{3}\) ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
భావన (A) : 2x + y + 3 = 0 మరియు 2x + y – 3 = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన లేదు.
కారణము (R) : a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు
\(\frac{a_1}{a_2}\) ≠ \(\frac{b_1}{b_2}\) అయిన ఏకైక సాధన ఉండును.
A) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ.
B) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ కాదు.
C) భావన సత్యం, కారణము అసత్యం.
D) భావన అసత్యం, కారణము సత్యం.
జవాబు:
B) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యం మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ కాదు.

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
A = {1, 2, 3, 4, 5} మరియు B = {1, 3, 5, 7} అయిన (i) A∪B. (ii) n (A∪B) లను కనుగొనుము.
సాధన:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}
i) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}∪{1, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 7}

ii) n(A∪B) = 6

ప్రశ్న 14.
శూన్యాల మొత్తం \(\frac{1}{4}\) మరియు శూన్యాల లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గబహుపదిని తెల్పండి.
సాధన:
శూన్యాల మొత్తం α + β = \(\frac{1}{4}\)
శూన్యాల లబ్ధం αβ = -1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ
= k [x² – \(\frac{1}{4}\) x + (−1)]
k = 4 అయిన వర్గబహుపది p(x) = 4x² – x – 4.

ప్రశ్న 15.
5x – 3y = 11 మరియు 10x – 6y = 22 సమీకరణాల జత సంగత సమీకరణాల్లో, అసంగత సమీకరణాలో సరిచూడుము.
సాధన:
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత
5x – 3y – 11 = 0
10x – 6y – 22 = 0
a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = -11
a₂ = 10, b₂ = -6, c₂ = -22
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{-3}{-6}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{c_1}{c_2}\) = \(\frac{-11}{-22}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\) కావున సంగత రేఖలు.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 17వ పదము, 10వ పదము కన్నా 7 ఎక్కువ. ఆ శ్రేఢి యొక్క సామాన్య భేదమును కనుగొనుము.
సాధన:
అంకశ్రేఢిలో 17వ పదం = a₁₇ = a + 16d
అంకశ్రేఢిలో 10వ పదం = a₁₀ = a + 9d
లెక్క ప్రకారం a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = a + 9d + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
∴ d = \(\frac{7}{7}\) = 1

ప్రశ్న 17.
A (3, – 2) మరియు B (5, k) బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖవాలు ‘0’ అయిన ‘k’ విలువ ఎంత ?
సాధన:
వాలు (m) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) = \(\frac{\mathrm{k}-(-2)}{5-3}\) = 0
⇒ \(\frac{\mathrm{k}+2}{2}\) = 0 ⇒ k + 2 = 0 ∴ k = -2.

ప్రశ్న 18.
సరూప త్రిభుజముల ధర్మాలను రాయండి.
సాధన:

1. సరూప త్రిభుజాల అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.
2. వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.

ప్రశ్న 19.
2 sin θ = log₂4 అయిన θ విలువ ఎంత ?
సాధన:
2 sin θ = log₂4 = log₂2²
= 2 log₂2 (∵ log x^m = m logx)
= 2(1)
2 sin θ = 2
∴ sin θ = \(\frac{2}{2}\) = 1 ∴ θ = 90°

ప్రశ్న 20.
క్రింది ఇచ్చిన వాటికి చిత్తు పటములు గీయండి.
i) ఊర్ధ్వకోణము
ii) నిమ్నకోణము
సాధన:

విభాగం – III (8 × 4 = 32)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
2^{x + 1} = 3^{2 – x} అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
2^{x + 1} = 3^{2 – x}
ఇరువైపులా సంవర్గమానం చేయగా
log 2^{x + 1} = log 3^{2 – x} [∵ log x^m = m log x]
⇒ (x + 1) log 2 – (2 – x) log 3
⇒ x log 2 + log 2 = 2 log 3 – x log 3
⇒ x log 2 + x log 3 = 2 log 3 – log 2
⇒ x (log 2 + log 3) = 2 log 3 – log 2
∴ x = \(\frac{2 \log 3-\log 2}{\log 2+\log 3}\)

ప్రశ్న 22.
3x² – 4√3x + 4 = 0 సమీకరణము యొక్క మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే కనుగొనుము.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x² – 4√3x + 4 = 0
a = 3, b = – 4√3, c = 4
విచక్షణి = b² – 4ac
= (- 4√3 )² – 4(3) (4) = 48 – 48 = 0
∴ ఇచ్చిన సమీకరణమునకు రెండు సమాన మూలాలు కలవు.

ప్రశ్న 23.
బిందువులు (-7, -3), (5, 10), (15, 8) మరియు (3, -5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజానికి శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు
A(-7, -3), B(5, 10), C(15, 8), D(3, -5)

కర్ణాలు ఒకదానినొకటి సమద్విఖండనం చేసుకొంటున్నాయి.
∴ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 24.
ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము మూడవ భుజానికి సమాంతరముగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశము : ΔABC లో AB మధ్య బిందువు ‘D’ మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’.
సారాంశం : DE || BC.
ఉపపత్తి :

AB మధ్య బిందువు ‘D’,
AD = DB ⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) = 1 ……….. (1)
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’ అయిన
AE = EC ⇒ \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) = 1 ……….. (2)
(1), (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా నుండును.
∴ DE || BC [∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యం నుండి నిరూపించబడినది]

ప్రశ్న 25.
7 సెం.మీ. భుజముగా గల ఘనము నుండి ఏర్పరచ గలిగే క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ ఘనపరిమాణము ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చినవి ఘనం యొక్క భుజం,
పొడవు = శంఖువు యొక్క
ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ.

శంఖువు వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ. [∵ r = \(\frac{d}{2}\) = \(\frac{7}{2}\) = 3.5]
∴ ఘనంలో ఏర్పర్చగలిగే క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ పరిమాణం
(V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 7
= \(\frac{22 \times 12.25}{3}\) = \(\frac{269.5}{3}\) = 89.8\(\overline{\{3}}\)
∴ V ≅ 89.83 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 26.
cot θ = \(\frac{7}{8}\) అయిన
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) (sec θ + 1) (sec θ – 1) లను కనుగొనుము.
సాధన:
cot θ = \(\frac{7}{8}\)

ప్రశ్న 27.
వర్గీకృత విభజనము యొక్క అంకమధ్యమమును సంక్షిప్త విచలన పద్ధతి ద్వారా కనుగొనుటకు సూత్రము రాసి అందలి పదాలను వివరించండి.
సాధన:
సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిలో అంకమధ్యమమునకు సూత్రము
\(\overline{\mathbf{x}}\) = a + [latex]\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}[/latex] × h
a = ఊహించిన సగటు
f_i = పౌనఃపున్యము
u_i = \(\frac{x_i-a}{h}\),
x_i = తరగతి మధ్య విలువ
h = తరగతి పొడవు

ప్రశ్న 28.
ఒక ఆట నందు వేగంగా త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తు పటములో చూపబడినట్లు 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 లేక 8ని సూచిస్తూ ఆగుతుంది. అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములైతే క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలు లెక్కించండి. బాణపు గుర్తు సూచించేది.

(i) 8
(ii) ఒక బేసి సంఖ్య
(iii) 2 కన్నా పెద్ద సంఖ్య
(iv) 9 కన్నా చిన్న సంఖ్య
సాధన:
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 2, . …., 8} = 8
(i) ‘8’ సంఖ్యకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
∴ P(8) = \(\frac{1}{8}\)

(ii) త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తులో “బేసిసంఖ్య” లభించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5, 7} = 4

(iii) ‘2′ కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = 6

= \(\frac{6}{8}\) = \(\frac{3}{4}\).

(iv) 9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = 8

(లేదా)
9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందు ఘటన ఒక కచ్ఛిత ఘటన. కనుక దీని సంభావ్యత 1.

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) √3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన:
√3 + √5 కరణీయసంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు √3 + √5 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √3 + √5 = \(\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు
మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చును.
√5 = \(\frac{a}{b}\) – √3
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a^2-2 b^2}{2 a b}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √3 ఒక కరణీయసంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ √3 + √5 ఒక కరణీయసంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ √3 + √5 కరణీయ సంఖ్య.
(లేదా)
b) దీర్ఘచతురస్రము ABCD అంతరంలో ఏదైనా బిందువు ‘0’ అయిన OB² + OD² = OA² + OC² అని చూపండి.
సాధన:

‘O’ బిందువు గుండా BC కి సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీసిన అది AB ని P వద్ద, DC ని Q వద్ద తాకును. అపుడు PQ || BC.
∴ PQ⊥AB మరియు PQ⊥DC (∵ ∠B = ∠C = 90°)
కావున ∠BPQ = 90° & ∠CQP = 90°
∴ BPQC మరియు APQD లు రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు..
ΔOPB నుండి OB² = BP² + OP² ………………. (1)
అదేవిధంగా ΔOQD నుండి
OD² = OQ² + DQ² …………….. (2)
ΔOQC నుండి OC² = OQ² + CQ² …………… (3)
ΔOAP నుండి OA² = AP² + OP²
(1), (2) లను కలుపగా
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
(∵ BP – CQ మరియు DQ = AP) = CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² ((3), (4) ల నుండి)

ప్రశ్న 30.
a) A = {x : x ∈ N మరియు x ≤ 5},
B = {x : x is అనేది 10 కన్నా తక్కువైన ప్రధానసంఖ్య),
C = {x : x అనేది 6కు కారణాంకము},
D {x : x అనేది 10 కన్నా తక్కువైన సరిసంఖ్య}
అయిన కింది వానిని కనుగొనుము.
i) A∪B
(ii) C∩D
(iii) A – C
(iv) B∩C.
సాధన:
A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {2, 3, 5, 7},
C = {1, 2, 3, 6} మరియు
D = {2, 4, 6, 8}

i) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}∪{2, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 7}

ii) C∩D = {1, 2, 3, 6} ∩{2, 4, 6, 8}
= {2, 6}

iii) A – C = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 3, 6}
= {4, 5}

iv) B∩C = {2, 3, 5, 7}∩ {1, 2, 3, 6}
= {2, 3}
(లేదా)
b) బిందువులు A (- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన:
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.


A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు
(-3, \(\frac{3}{2}\)), (-2, 3) మరియు (-1, \(\frac{9}{2}\))

ప్రశ్న 31.
a) మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరాల క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రేట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును
కనుగొనండి.
సాధన. మేరి ప్రస్తుత వయస్సు x సంవత్సరములు;
ఆమె కూతురి వయస్సు y సంవత్సరములు అనుకొనుము.
7 సంవత్సరముల క్రితం, మేరి వయస్సు (x – 7) సం॥, ఆమె కూతురి వయస్సు (y – 7) సం॥.
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 ………….. (1)
3 సంవత్సరముల తరువాత, మేరి వయస్సు x + 3
మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు y + 3.
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y – 6 = 0 …………. (2)
చరరాశిని తొలగించు :

x పదానికి ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణం (1) నుండి సమీకరణం (2) ను తీసివేయగా
y = \(\frac{-48}{-4}\) = 12
ఈ y విలువను (2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
x – 3 (12) – 6 – 0
x = 36 + 6 = 42
కావున మేరి ప్రస్తుత వయస్సు 42 సంవత్సరములు మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు 12 సంవత్సరములు.
(లేదా)
b) భూమిపై నున్న బిందువు నుండి ఒక జెట్ విమానాన్ని పరిశీలిస్తే 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. 15 సెకన్ల తరువాత దాని ఊర్ధ్వకోణం 30° గా మారుతుంది. ఆ జెట్ విమానం 1500 √3 మీటర్ల స్థిర ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే దాని వేగాన్ని కనుగొనండి. [√3 = 1.732]
సాధన:

పటం నుండి,
P మరియు Q లు విమానం యొక్క రెండు స్థానములు.
‘A’ పరిశీలన బిందువు.
ABC అనునది ‘A’ గుండా పోవు ఒక క్షితిజ సమాంతరరేఖ.
‘A’ నుండి P మరియు Q ల యొక్క ఊర్థ్వకోణాలు వరుసగా 60° మరియు 30°.
∴ ∠PAB = 60°, ∠QAC = 30°
జెట్ విమానపు స్థిర ఎత్తు = 1500√3 మీటర్లు.
ΔABP లో, tan60° = \(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ √3 = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ AB = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 1500 మీ.
ΔACQ లో, tan 30° = \(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500 \sqrt{3}}{A C}\)
⇒ AC = 1500 √3 × √3
⇒ AC = 1500 × 3 = 4500మీ.
పటం నుండి, PQ = BC = AC – AB
= 4500 – 1500 = 3000 మీటర్లు
ఆ విమానం 15 సెకన్లలో 3000 మీటర్లు ప్రయాణించినది.
∴ విమానపు వేగము = \(\frac{3000}{15}\) = 200 మీ/సె.

ప్రశ్న 32.
a) 44 సెం.మీ. భుజము కొలతగా గల ఒక సీసపు ఘనమును 4 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన ఎన్ని గోళాకార బంతులుగా మార్చవచ్చు ?
సాధన:

సీసపు ఘనభుజము = 44 సెం.మీ.
గోళము వ్యాసార్ధము = \(\frac{4}{2}\) సెం.మీ. = 2 సెం.మీ.
గోళము ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 2³ (సెం.మీ.)³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 (సెం.మీ.)³
సీసపు ఘనమును x గోళములుగా తయారుచేస్తే,
x గోళముల మొత్తము ఘనపరిమాణం
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x (సెం.మీ)³
∴ x గోళముల మొత్తము ఘనపరిమాణం = సీసపు -ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x = (44)³
⇒ \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x = 44 × 44 × 44
⇒ x = \(\frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8}\)
x = 2541
అందుచే తయారుచేయబడిన గోళముల సంఖ్య = 2541.
(లేదా)
b) క్రింది దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 525 మరియు దత్తాంశములోని రాశుల మొత్తం 100 అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన:
దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య n = 100 అని ఇవ్వబడింది.
∴ 76 + x + y = 100, i. e., x + y = 24 (1)
మధ్యగతం 525 అను రాశి 500 – 600 తరగతికి చెందుతుంది.
కావున, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100
సూత్రము ఉపయోగించి మధ్యగతము
= l + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
525 = 500 + \(\frac{50-36-x}{20}\) × 100
525 – 500 (14 – x) × 5
25 = 70 – 5x
5x = 70 – 25 = 45
∴ x = 9
సమీకరణం (1) నుండి 9 + y = 24
∴ y = 15

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం	సంచిత పౌనఃపున్యం
0 – 100	2	2
100 – 200	5	7
200 – 300	x	7 + x
300 – 400	12	19 + x
400 – 500	17	36 + x
500 – 600	20	56 + x
600 – 700	y	56 + x + y
700 – 800	9	65 + x + y
800 – 900	7	72 + x + y
900 – 1000	4	76 + x + y

గమనిక : వేరువేరు తరగతి అంతరాలు గల దత్తాంశమునకు కూడా ఇదే సూత్రమును ఉపయోగించి మధ్యగతమును కనుగొనవచ్చు.

ప్రశ్న 33.
a) p(x) = 6 – x – x² బహుపదికి తగిన రేఖాచిత్రాన్ని గీసి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన:
y = 6 – x – x²

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో x² యొక్క గుణకం -1 < 0 (a < 0).

2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.

3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (−3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = -x² – x + 6 = 0
⇒ -x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ -x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0
⇒ (x + 3) (2 – x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = -3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (-3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.
(లేదా)
b) ఒక వృత్త వ్యాసార్ధము 4.5 సెం.మీ. మరియు రెండు
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 60° అయిన ఆ వృత్తానికి స్పర్శ రేఖలు గీయండి.
సాధన:
ΔPAO లో ∠APO = 30° మరియు
OA = 4.5 సెం.మీ.

sin 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4.5}{\mathrm{OP}}\)
∴ OP = 9 సెం.మీ.
∴ వ్యాసార్ధం r = 4.5 cm; d = 9 cm

నిర్మాణక్రమము :
1. 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా ఒక వృత్తాన్ని గీయాలి.
2. ‘O’ నుండి 9 సెం.మీ. దూరంలో P బిందువును గుర్తించి, OP కి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయాలి. ఖండన బిందువును M గా గుర్తించాలి.
3. OM = MP వ్యాసార్ధం, Mకేంద్రంగా మరొక వృత్తాన్ని గీయాలి. రెండు వృత్తాల ఖండన బిందువులను A, B లుగా గుర్తించాలి. .
4. AP మరియు BP లను కలపాలి.
5. AP మరియు BP లు మనకు కావలసిన స్పర్శరేఖలు.