AP 10th Class Maths Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 4 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

విద్యార్థులకు సూచనలు :

1. 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
2. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
3. ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
4. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు. 5. అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగా, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.

ప్రశ్న 1.
\(\log _{\frac{3}{2}} \frac{27}{8}\) విలువ ఎంత ?
సాధన:
\(\log _{\frac{3}{2}} \frac{27}{8}\) = \(\log _{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)^3\) = \(\log _{\frac{3}{2}} \frac{3}{2}\) = 3(1) = 3

ప్రశ్న 2.
A = {1, 2, 3, 4) మరియు Φ = { } అయిన
A∩Φ ని కనుగొనుము.
సాధన:
A∩Φ = {1, 2, 3, 4}∩ { } = { } = Φ

ప్రశ్న 3.
p(x) = px³ + qx² + rx + s బహుపదికి α, β, γ లు శూన్యాలు అయిన కింది వానిని జతపరుచుము,
i) α + β + γ
ii) αβ + βγ + γα
iii) αβγ

a) \(\frac{-\mathbf{s}}{\mathbf{p}}\)
b) \(\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{p}}\)
c) \(\frac{-\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\)

A) i → b, ii → c, iii → a
B) i → c, ii → b, iii → a
C) i → c, ii → a, iii → b
D) i → b, ii → a, iii → c
జవాబు:
B) i → c, ii → b, iii → a

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణములో
b² – 4ac = 0 సందర్భాన్ని చూపు రేఖాచిత్రం చిత్తుపటంను గీయుము.
జవాబు:

ప్రశ్న 5.
ప్రక్క త్రిభుజములో త్రిభుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల రెండవ త్రిభుజం, దాని భుజముల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల మూడవ త్రిభుజం ఏర్పడును. ఈ విధానాన్ని అనంతం కొనసాగిస్తే మొదటి, రెండవ, మూడవ, ………….. త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు ఏ శ్రేఢిలో ఉంటాయి ?

జవాబు:
గుణశ్రేఢి (G.P.)

ప్రశ్న 6.
క్రింది నియమాలను పాటించే చతుర్భుజం ఏది ?
i) అన్ని భుజాలు సమానం.
ii) రెండు కర్ణాలు సమానము.

A) రాంబస్
B) దీర్ఘచతురస్రం
C) సమాంతర చతుర్భుజం
D) చతురస్రం
జవాబు:
D) చతురస్రం

ప్రశ్న 7.
(1, 4) మరియు (5, -4) బిందువులు వృత్త వ్యాసమునకు గల రెండు చివరి బిందువులు అయిన వృత్త కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన:
వృత్త కేంద్రము = వ్యాసము యొక్క మధ్య బిందువు
= (\(\frac{x_1+x_2}{2}\), \(\frac{y_1+y_2}{2}\))
= (\(\frac{1+5}{2}\), \(\frac{4+(-4)}{2}\)) = (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) = (3, 0)

ప్రశ్న 8.
భావన (A) : త్రిభుజము ABC లో, AB² + BC² = AC² అయిన ∠B = 90°.
కారణము (R) : ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము యొక్క వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైన, మొదటి భుజానికి ఎదురుగా కోణము లంబకోణము.
A) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యము మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ.
B) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యము. కానీ కారణము, భావనకు సరైన వివరణ కాదు.
C) భావన సత్యము, కానీ కారణము అసత్యము.
D) భావన అసత్యము, కానీ కారణము సత్యము.
జవాబు:
A) భావన మరియు కారణము రెండూ సత్యము మరియు కారణము, భావనకు సరైన వివరణ.

ప్రశ్న 9.
క్రింది పటంలో ∠B = 90° అయిన ఈ పటం నిమ్న కోణాన్ని రాయండి.

జవాబు:
∠DAC

ప్రశ్న 10.
sin (90° – A) = \(\frac{1}{2}\) అయిన A విలువ ఎంత ?
సాధన:
sin (90° – A) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 90° – A = 30° (∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 90° – 30° = A ∴ A = 60°

ప్రశ్న 11.
బాగుగా కలుపబడిన పేక కట్ట (52) నుండి ఎరుపు ముఖకార్డును యాదృచ్ఛికంగా తీసిన సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఎరుపు ముఖకార్డు యొక్క సంభావ్యత .
P(R) = \(\frac{6}{52}\) = \(\frac{3}{26}\)

ప్రశ్న 12.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు సెక్టరు కోణం 90° అయిన సెక్టరు వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన:

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
\(2^{2+\log _2 5}\) విలువ ఎంత ?
సాధన:
\(2^{2+\log _2 5}\) = 2² × \(2^{\log _2 5}[latex] = 4 × 5 = 20 (∵ [latex]a^{\log _a x}\) = x)

ప్రశ్న 14.
క్రింది సమితులను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
i) A = {x : x అనేది ఒక పూర్ణ సంఖ్య, x² = 9}
ii) B {x : x అనేది “APPLE” పదంలో ఒక అక్షరం.
సాధన:
i) A = {-3, 3} [∵ x² = 9 ⇒ x = √9 = ± 3]
ii) B = {A, P, L, E}

ప్రశ్న 15.
3 మరియు -2 అనేవి p(x) = x² – 5x + 6 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 5x + 6
p(3) = (3)² + 5(3) + 6
= 9 – 15 + 6 = 15 – 15 = 0
p(- 2) = ( – 2)² – 5( – 2) + 6
4+ 10 + 6 = 20
3 బహుపదికి p(x) కి శూన్యం అగును మరియు – 2 బహుపది p (x) కి శూన్యం కాదు.

ప్రశ్న 16.
2x + 3y + 5 = 0 మరియు 4x – ky + 10 = 0 సమీకరణాల జత, k యొక్క ఏ విలువకు అవి ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి ?
సాధన:
2x + 3y + 5 = 0, 4x – ky + 10 = 0 సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు.
∴ \(\frac{\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_2}\) = \(\frac{\mathbf{b}_1}{\mathbf{b}_2}\) = \(\frac{\mathbf{c}_1}{\mathbf{c}_2}\)
\(\frac{2}{4}\) = \(\frac{3}{-k}\) = \(\frac{5}{10}\)
\(\frac{3}{-k}\) = \(\frac{1}{2}\) – k = 6 ∴ k = – 6

ప్రశ్న 17.
‘రెండు వరుస ధనసంఖ్యల లబ్దం 132’ అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గ సమీకరణంను రాయండి.
సాధన:
x మరియు x + 1 లు రెండు వరుస పూర్ణ సంఖ్యలు
అనుకొనుము.
x(x + 1) = 132
⇒ x² + x = 132
⇒ x² + x – 132 = 0
∴ x² + x – 132 = 0 కావలసిన వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 18.
(- 4, 6), (2, – 2) మరియు (2, 5) లు వరుసగా త్రిభుజ శీర్షాలు అయిన ఆ త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన:
బిందువులు A(- 4, 6), B(2, – 2), C(2, 5) అనుకొనుము.
ΔABC గుగుత్వ కేంద్రము
= (\(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\), \(\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\))
= (\(\frac{-4+2+2}{3}\), \(\frac{6+(-2)+5}{3}\))
= (\(\frac{0}{3}\), \(\frac{9}{3}\)) = (0, 3)

ప్రశ్న 19.
7.2 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక రేఖాఖండమును గీచి దానిని 5 : 3 నిష్పత్తిలో (వృత్తలేఖని, స్కేలును ఉపయోగించి) విభజించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
ఒక వ్యక్తి ‘α’ ఊర్ధ్వకోణముతో ఒక గాలిపటాన్ని ఎగురవేస్తున్నాడు. గాలిపటాన్ని ‘l’ పొడవు గల దారంతో ఎగురవేస్తున్నాడు. ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన:

AB = గాలిపటం ఎత్తు ; AC = దారం పొడవు.

విభాగం – III 8 × 4 = 32

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన:
చిన్న కోణం = x, పెద్ద కోణం = y అనుకొనుము.
∴ x + y = 180° …………….. (1)
(x, y లు సంపూరక కోణాలు)
y = x +18° ⇒ – x + y = 18° ……………… (2)
(1) + (2) ⇒

∴ y = \(\frac{198}{2}\) = 99° ⇒ y = 99°
y = 99 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
x + 99° = 180°
x = 180° – 99° = 81° = x = 81°
∴ కావలసిన రెండు కోణాలు 81°, 99°.
(లేదా)
చిన్న కోణం = x
∴ పెద్ద కోణం = 180° – x (∵ రెండు కోణాలు సంపూరకాలు)
180 – x = x + 18 ⇒ 180 – 18 = 2x
2x = 162 ⇒ x = \(\frac{162}{2}\) = 81°
చిన్న కోణం x = 81°
పెద్ద కోణం = 180° – x = 180° – 81° = 99°

ప్రశ్న 22.
5, 11, 17, 23, ….. జాబితాలో 301 ఉంటుందో ! లేదో! సరిచూడండి.
సాధన:
ఇచ్చిన జాబితా 5, 11, 17, 23, …… అంకశ్రేఢిలో కలవు.
a = 5, d = a₂ – a₁ = 11 – 5 = 6
a_n = 301 అనుకొందాము.
a_n = a + (n – 1) d = 301
⇒ 5 + (n – 1) 6 = 301
⇒ (n – 1) 6 = 301 – 5 = 296
⇒ n – 1 =
⇒ n = \(\frac{148}{3}\) + 1 = \(\frac{151}{3}\) ∴ n = 50.333 ……..
‘n’ సహజ సంఖ్య కాదు. కావున 301 ఇచ్చిన శ్రేఢిలోని పదము కాదు.

ప్రశ్న 23.
క్రింది పటను పరిశీలించి, ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు సమాధానం రాయండి.

i) A∪B
ii) A∩B
iii) A – B
iv) μ
సాధన:
i) A∪B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
ii) A∩B = {2, 6}
iii) A – B = (1, 3, 5}
iv) μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

ప్రశ్న 24.
AB ఒక వృత్త వ్యాసము. కేంద్రము (2, – 3) మరియు B (1, 4) అయితే, A నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
ఇచ్చిన పటంలో LM//CB మరియు_LN//CD
అయిన = \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}\) అని చూపండి.

సాధన:
ఇచ్చినది : ΔABC లో LM//CB మరియు LN // CD.

∴ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}\) = \(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\) …………… (1)
(∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత అనువర్తనం)
ΔACD LN // CD
∴ \(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AC}}\) = \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}\) ………….. (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}\)

ప్రశ్న 26.
‘O’ కేంద్రంగా గల రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 28 సెం.మీ. మరియు 14 సెం.మీ. మరియు AB, CD లు రెండు చాపరేఖలు (పటం చూడండి). ∠AOB = 45°అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనండి.

సాధన:
సెక్టరు వ్యాసార్ధము OCD (r₁) = 14 సెం.మీ.
సెక్టరు వ్యాసార్ధము OAB (r₂) = 28 సెం.మీ.
సెక్టరు కోణము θ = 45°
షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యము
= OAB సెక్టరు వైశాల్యం – OCD సెక్టరు వైశాల్యం

∴ 231 చ.సెం.మీ.
∴ షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యం = 231 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 27.
ఒక నావ ఒక నదిని దాటాల్సి ఉంది. నదీ ప్రవాహం కారణంగా ఆ నదీ తీరంలో 60° ల కోణం చేస్తున్న ఆ నావ 600 మీటర్లు ప్రయాణించి అవతలి తీరాన్ని చేరింది. ఆ నది వెడల్పైంత ?
సాధన:

పటంలో, ‘A’ నావ వేరొక వైపుకు చేరవలసిన స్థానము. ‘C’ ప్రస్తుతము నావ ఉన్న స్థానము (లేక)
పరిశీలన స్థానము.
AC = నావ ప్రయాణించిన దూరము =600 మీ.
ఊర్థ్వకోణము = ∠ACB = 60°
AB = నది అసలు వెడల్పు అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో
sin60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{A B}{600}\)
⇒ AB = 600 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ AB = 300√3 మీ.
∴ నది వెడల్పు = 300√3 మీ.

ప్రశ్న 28.
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనంనకు బాహుళకమును కనుగొనుటకు సూత్రమును రాసి, అందలి పదములను వివరించండి.
సాధన:
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనంనకు బాహుళక సూత్రం:
బాహుళకము = l + (\(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\)) × h
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు.
h = బాహుళక తరగతి పొడవు
f₁ = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f₀ = బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f₁ = బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము.

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) ఏదైన ధనపూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 9m లేదా 9m + 1 లేదా 9m + 8 రూపంలో ఉంటుంది అని యూక్లిడ్ భాగహార శేషవిధి ఆధారంగా చూపుము.
సాధన:
‘a’ అనునది ఏదేని ఒక ధన పూర్ణసంఖ్య మరియు b = 3 అనుకుందాం.
యూక్లిడ్ భాగహార శేష న్యాయం ప్రకారం .
a = 3q + r …………… (1)
ఇక్కడ q ∈ W మరియు 0 ≤ r< 2 అనగా
r = 0 లేదా r = 1 లేదా r = 2

సందర్భం : 1, r = 0
(1) ⇒ a = 3q
a³ = (3q)³ = 27q³
= 9 (3q³) = 9 m
ఇక్కడ m = 3q³.

సందర్భం : 2, r =1
(1) ⇒ a = 3q + 1
a³ = (3q + 1)³
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 3q² + q) + 1
= 9 m + 1
ఇక్కడ m = 3q³ + 3q³ + q

సందర్భం : 3, r = 2
(1) ⇒ a = (3q + 2)³
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
= 9m + 8
ఇక్కడ m = 3q³ + 6q² + 4q
కావున ధన పూర్ణసంఖ్య యొక్క ఘనము 9m లేదా 9m + 1 లేదా 9m + 8 రూపంలో ఉంటుంది.
(లేదా)
b) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S
= (sin A + cosec A)² + (cos A+ sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A. cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A. sec A) [∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= (sin² A + cos² A) + cosec² A + 2 sinA. \(\frac{1}{\sin A}\)
+ sec² A + 2 cos A. \(\frac{1}{\cos A}\) [∵ \(\frac{1}{\sin A}\) = cosec A; \(\frac{1}{\cos A}\) = sec A]
= 1 + (1 + cot² A) + 2 + (1 + tan² A) + 2 [∵ sin² A + cos² A = 1
cosec² A = 1 + cot² A; sec² A = 1 + tan² A] = 7 + tan² A+ cot² A = R.H.S.

ప్రశ్న 30.
a) క్రింది సమీకరణాల జతలను, రేఖీయ సమీకరణాల జతలుగా మార్చడం ద్వారా వాటికి సాధన కనుగొనండి.
\(\frac{5}{x-1}\) + \(\frac{1}{y-2}\) = 2 మరియు \(\frac{6}{x-1}\) + \(\frac{3}{y-2}\) = 1
సాధన:
\(\frac{5}{x-1}\) + \(\frac{1}{y-2}\) = 2 ………….. (1)
\(\frac{6}{x-1}\) + \(\frac{3}{y-2}\) = 1 …………… (2)
(1) మరియు (2) లలో \(\frac{1}{x-1}\) = p,\(\frac{1}{y-2}\) = q
అనుకొనుము,
(1) ⇒ 5p + q = 2 …………… (3)
(2) ⇒ 6p – 3q = 1 …………. (4)
(3) ⇒ q = 2 – 5p ని (4) ప్రతిక్షేపించగా,
6p – 3 (2 – 5p)= 1
6p – 6 + 15p = 1
21p 1 + 6 = 7 ⇒ p = \(\frac{7}{21}\) = \(\frac{1}{3}\)
P = \(\frac{1}{3}\) ని (4) లో రాయగా,
– 3q = 1 ⇒ – 3q = 1 – 2 = – 1
⇒ 3q = 1 ⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\), q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{x-1}\) = p = \(\frac{1}{3}\)
x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 = 4
\(\frac{1}{y-2}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
y – 2 = 3 ⇒ y = 3 + 2 = 5
∴ సాధన x = 4, y = 5

సరిచూచుట :
\(\frac{5}{x-1}\) + \(\frac{1}{y-2}\) = 2
x = 4, y = 5 విలువలను రాయగా,
\(\frac{5}{4-1}\) + \(\frac{1}{5-2}\) = 2
\(\frac{5}{3}\) + \(\frac{1}{3}\) = 2 ⇒ \(\frac{6}{3}\) = 2 ⇒ 2 = 2
(లేదా)
b) రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించడం జరిగింది. రెండు పాచికలపై కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం i) 10 ii) 13 iii) 12 లేక అంతకన్నా తక్కువ iv) 8. సాధన:
పాచికను రెండుసార్లు దొర్లిం చినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాలు
S = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)}
పాచికను రెండుసార్లు దొర్లించిన లభించదగు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6² = 36 ⇒ n(S) = 36

i) ఘటన E-[రెండు సంఖ్యల మొత్తం 10] యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)]
n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{36}\) = \(\frac{1}{12}\)

ii) ఘటన F [రెండు సంఖ్యల మొత్తం 13] కు అనుకూల పర్యవసానాలు శూన్యము.
∴ P(F) = \(\frac{0}{36}\) = 0

iii) ఘటన S [12 లేక అంతకన్నా తక్కువ) కు అన్ని పర్యవసానాలు అనుకూలములే.
∴ P(S) = \(\frac{36}{36}\) = 1

iv) ఘటన G [రెండు సంఖ్యల మొత్తం 8] యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు
G = {(2, 6): (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)]
n(G) = 5
P(G) = \(\frac{n(G)}{n(S)}\) = \(\frac{5}{36}\)

ప్రశ్న 31.
a) 5x² – 7x – 6 = 0 సమీకరణానికి మూలాలు వర్గంను పూర్తిచేయుట ద్వారా కనుగొనుము.
సాధన:
5x² – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x² – \(\frac{7}{5}\)x – \(\frac{6}{5}\) = 0 ⇒ x² – \(\frac{7}{5}\)x = \(\frac{6}{5}\)

(లేదా)
b) 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధములు కల్గిన లోహపు గోళములను కరిగించి ఒక పెద్ద లోహపు గోళముగా మలిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన:

లెక్క ప్రకారం, 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధాలుగా గల గోళాల ఘనపరిమాణముల మొత్తం = పెద్ద గోళం ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\)πr₁³ + \(\frac{4}{3}\)πr₂³ + \(\frac{4}{3}\)πr₃³ + \(\frac{4}{3}\)πR³
⇒ \(\frac{4}{3}\)π[r₁³ + r₂³ + r₃³] = \(\frac{4}{3}\) ×
π × R³
⇒ r₁³ + r₂³ + r₃³ = R³ ⇒ 6³ + 8³ + 10³ = R³
⇒ 216 + 512 + 1000 = R³
⇒ R³ = 1728 ⇒ R³ = 12³
∴ R = 12 (∵ ఘాతాంకాలు సమానమైన భూములు కూడా సమానాలే)
∴ పెద్ద గోళం వ్యాసార్ధం (R) = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 32.
a) ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం ఔ ₹ 700 లకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ, దాని ముందున్న దానికి కౌ ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇ అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ. కావున, a₁, a₂, a₃, a₄, లు A.P.లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = – 20 (∵ a₁ కన్నా a₂ 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a₁ = 160
a₂ = 160 – 20 = 140
a₃ = 140 – 20 = 120
a₄ = 120 – 20 = 100
a₅ = 100 – 20 = 80
a₆ = 80 – 20 = 60
a₇ = 60 – 20 = 40
(లేదా)
b) ఒక కర్మాగారములోని 50 మంది కార్మికుల దినసరి భత్యము ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి.

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని, ఆ కర్మాగారంలోని కార్మికుల సగటు భత్యమును కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 33.
a) p(x) = x² – x – 12 బహుపదికి తగిన రేఖాచిత్రమును గీసి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన:
y = p(x) = x² – x – 12

p(x) = x² – x – 12 పరావలయం X – అక్షాన్ని (-3, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. – గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – x – 12 యొక్క శూన్య విలువలు -3 మరియు 4.
p(x) = x² – x – 12 = 0 ⇒ x² – 4x + 3x – 12 = 0
= x (x – 4) + 3 (x – 4) = 0 ⇒ (x – 4) (x + 3) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 3 = 0 ⇒ x = 4 లేదా x = – 3

∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 4 మరియు -3. గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా
కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.
(లేదా)
b) భూమి 8 సెం.మీ. మరియు దానికి గీసిన లంబము 4 సెం.మీ. ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును గీయండి. ఈ త్రిభుజ భుజాలకు 1\(\frac{1}{2}\) రెట్లు అనురూప భుజాల పొడవులు కలిగి, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉంటూ వేరొక
త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన:
నిర్మాణ సోపానాలు :
1) BC 8సెం. మీ మరియు లంబము 4సెం.మీ ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును నిర్మించుము.

2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX
కిరణమును గీయుము.
3) ఈ BX పై BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃ లను గుర్తించుము.
4) B₂C ని కలుపుము. B₂ నుండి B₃Cకి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
5) C’ గుండా CAకు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
6) కావున ΔA ‘BC’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.