AP 10th Class Maths Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 3 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

విద్యార్థులకు సూచనలు :

1. 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
2. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
3. ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
4. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
5. అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగాను, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.

ప్రశ్న 1.
0.75 ను p/q రూపంలో వ్యక్తపరుచుము.
సాధన:
0.75 = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 2.
జతపరచుము :

సాధన:
సరియైన సమాధానమును ఎన్నుకొనుము :
A) a – ii, b – iii, c – i
B) a – iii, b – i, c – ii
C) a – i, b – ii, c – iii
D) a – iii, b – ii, c – i
జవాబు:
B) a – iii, b – i, c – ii

ప్రశ్న 3.
ఘన బహుపదికి గల శూన్య విలువల సంఖ్య ……………….
జవాబు:
3

ప్రశ్న 4.
3,7, 11, …………………. అంక శ్రేఢిలో 5వ పదమును వ్రాముము.
జవాబు:
19 [అంకశ్రేఢి 3, 7, 11, 15, 19, 23, …………..]

ప్రశ్న 5.
2y = 5x + 7 సమీకరణమును ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయుము.
జవాబు:
5x – 2y + 7 = 0

ప్రశ్న 6.
క్రింది వానిలో A(8, 3) మరియు B (4, 3) బిందువుల మధ్యదూరమును గుర్తించుము.
A) 12
B) 0
C) 4
D) 6
జవాబు:
C) 4
[∵ |x₂ – x₁| = |4 – 8| = |-4| = 4]

ప్రశ్న 7.
ప్రవచనము ‘p’ : వృత్తాన్ని, ఒక స్పర్శరేఖ ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది.
ప్రవచనము ‘q’ : ఒక వృత్తానికి మనము అనంత స్పర్శరేఖలను గీయగలము.
సరియైన సమాధానమును ఎన్నుకొనుము.
A) ప్రవచనము ‘p’ మరియు ‘q’ రెండూ సత్యము
B) ప్రవచనము ‘p’ సత్యము, ప్రవచనము ‘q’ అసత్యము
C) ప్రవచనము ‘p’ అసత్యము, ప్రవచనము ‘q’ సత్యము
D) ప్రవచనము ‘p’ మరియు ‘q’ రెండూ అసత్యము
జవాబు:
A) ప్రవచనము ‘p’ మరియు ‘q’ రెండూ సత్యము

ప్రశ్న 8.
cos θ మరియు sec θ ల మధ్య సంబంధమును వ్రాయుము .
జవాబు:
sec θ = \(\frac{1}{\cos \theta}\)
(లేదా)
cos θ = \(\frac{1}{\sec \theta}\)
(లేదా)
cos θ. sec θ = 1

ప్రశ్న 9.
కింది పటములో నిమ్న కోణమును గుర్తించుము.

జవాబు:
నిమ్నకోణము α

ప్రశ్న 10.
దిగువ నీయబడిన పౌనఃపున్య విభజన పుట్టికలో అధిక పౌనఃపున్యం గల తరగతి యొక్క తరగతి అంతరం ఎంత ?

జవాబు:
2

ప్రశ్న 11.
P(E) = 0.4, అయిన ‘E కాదు’ యొక్క సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.4 = 0.6

ప్రశ్న 12.
“ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణము మీది వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం” సిద్ధాంతమునకు సంబందించిన గణిత శాస్త్రవేత్త ఎవరు?
A) బౌధాయనుడు
B) ఆర్యభట్ట
C) యూక్లిడ్
D) భాస్కరుడు
సాధన:
A) బౌధాయనుడు

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
12, 15 మరియు 21 ల గ.సా.కా. ను కనుగొనుము.
సాధన:
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
గ.సా.కా = 3

ప్రశ్న 14.
p(t) = t³ – 1, అయిన p(1), p(0) లను కనుగొని, శూన్య విలువను గుర్తించుము.
సాధన:
p(t) = t³ – 1
p(1) = (1)³ – 1 = 1 – 1 = 0
p(0) = (0)³ – 1 = -1
p(1) = 0, p(t) = t³ – 1 శూన్య విలువ = 1

ప్రశ్న 15.
3x + 4y = 2 మరియు px + 8y = 4 సమీకరణాలు రెండు ఏకీభవించు రేఖలను సూచించిన p విలువను
కనుగొనుము.
సాధన:
3x + 4y = 2 మరియు px + 8y = 4
3x + 4y – 2 = 0 మరియు px + 8y – 4 = 0 లు ఏకీభవించే రేఖలు

ప్రశ్న 16.
బిందువులు (3, 0) మరియు (−1,4) లచే ఏర్పడు. రేఖాఖండం మధ్య బిందువును కనుగొనుము.
సాధన:
(3, 0) మరియు (-1, 4) బిందువులను కలుపు రేఖా
ఖండం మధ్యబిందువు = (\(\frac{x_1+x_2}{2}\), \(\frac{y_1+y_2}{2}\))
(\(\frac{3-1}{2}\), \(\frac{4+0}{2}\)) = (\(\frac{2}{2}\), \(\frac{4}{2}\)) = (1, 2)

ప్రశ్న 17.
కింది పటం నుండి AB = 5 సెం.మీ. మరియు AC = 13 సెంమీ, అయిన BC విలువలను లెక్కించుము.

సాధన:
AB² + BC²= AC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
⇒ 5² + BC² = 13²
⇒ 25 + BC² = 169
⇒ BC² = 169 – 25 = 144
⇒ BC = \(\sqrt{144}\) = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 18.
ఒక వృత్త వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరమని చూపండి.
సాధన.
‘O’ వృత్తకేంద్రము, AB వ్యాసము CD, EF లు వ్యాసము చివర గీచిన స్పర్శరేఖలు.

∠DAB = 90° మరియు ∠EBA = 90° [స్పర్శరేఖ, వ్యాసార్థముల మధ్య కోణం]
∴ ∠DAB = ZEBA [ఏకాంతర కోణాలు సమానం]
∴ AB || CD

ప్రశ్న 19.
జానీ మొదటి అంతస్థులోని బాల్కని నుండి బయట భూమిపై నిలబడి యున్న వనజను 60° నిమ్నకోణముతో చూస్తుంది. మొదటి అంతస్థు ఎత్తు 10మీ. అయిన ఈ సందర్భంలో పటాన్ని గీయండి.
జవాబు:

A = జాని, C = వనజ
AB = మొదటి అంతస్తు బాల్కని ఎత్తు

ప్రశ్న 20.
8, 11, 13, x, 9 మరియు 3 ల సగటు 8 అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన. 8, 11, 13, x, 9 మరియు 3 ల సగటు = 8
∴
\(\frac{8+11+13+x+9+3}{6}\) = 8
⇒ 44 + x = 48
⇒ x = 48 – 44 = 4
∴ x = 4

విభాగం – III (8 × 4 = 32)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
A = {2, 5, 6, 8}, B = {1, 5, 7, 9 } అయిన A∪B, A – Bలను కనుగొని, వెన్ చిత్రము గీయము.
సాధన:
A = {2, 5, 6, 8}, B = {1, 5, 7, 9 }

i) A∪B = {2, 5, 6, 8} ∪ {1, 5, 7, 9 } = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}

ii) A – B = {2, 5, 6, 8} – {1, 5, 7, 9 } = {2,6,8}

ప్రశ్న 22.
11, 8, 5, 2, ……………… అంక శ్రేఢిలో ‘-150′ ఒక పదంగా వుంటుందో లేదో పరిశీలించుము.
సాధన:
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 11, 8, 5, 2, ……………… లో n పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు,
a = 11, d = a₂ – a₁ – 8 – 11 = – 3 మరియు a_n = -150
∴ a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1) × (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 -14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
∴ n = \(\frac{1}{2}\)

అంకశ్రేఢిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య. కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున
11, 8, 5, 2, ………………. అంకశ్రేఢిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 23.
బిందువులు (5, -2), (6, 4) మరియు (7, -2) లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయో? కావో? చూడండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు A = (5, – 2), B = (6, 4), C = (7, – 2) లు AABC శీర్షాలు అనుకొందాం.

BC = \(\sqrt{(7-6)^2+(-2-4)^2}\)
= \(\sqrt{1+36}\) = \(\sqrt{37}\)
AC = \(\sqrt{(7-5)^2+(-2+2)^2}\) = √4 = 2
∴ ΔABC లో AB = BC ≠ AC
కావున ఇచ్చిన బిందువులు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 24.
6 మీ. మరియు 11 మీటర్లు పొడవుగల స్తంభం ఒక చదునైన నేలపై కలవు. నేలపై ఆ రెండు స్తంభాల అడుగు భాగముల మధ్య దూరము 12 మీ. అయిన ఆ రెండు స్తంభాల పై భాగముల మధ్య దూరము ఎంత ?
సాధన:

మొదటి స్తంభం ఎత్తు = AB = 6 మీ. అనుకొనుము
రెండవ స్తంభం ఎత్తు = CD = 11 మీ. అనుకొనుము
స్తంభాల మధ్య దూరము = AC = 12 మీ.
పటం నుండి ΔACEB ఒక దీర్ఘ చతురస్రము,
∴ AB = CE = 6 మీ
ED = CD – CE = 11 – 6 = 5మీ.
ΔBED ∠E = 90°; DE = 5 మీ.
BE = 12 మీ.
∴ BD² = BE² + DE²
= 12² + 5²
= 144 + 25
BD² – 169
∴ BD = \(\sqrt{169}\) = 13 మీ.
∴ స్తంభాల కొనల మధ్య దూరము = 13 మీ.

ప్రశ్న 25.
త్రిభుజం ABC లోని అంతర కోణాలు A, B మరియు C అయిన sin(\(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\)) = cos\(\frac{\mathbf{A}}{2}\) అని చూపుము.
సాధన:
A, B మరియు C లు ΔABC లోని కోణాలు కావున
A + B + C = 180°
ఇరువైపులా 2చే భాగించగా
\(\frac{\mathbf{A}}{2}\) + \(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\) = 90°
\(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\) = 90° – \(\frac{\mathbf{A}}{2}\)
ఇరువైపులా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి sin తీసుకొనగా
sin(\(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\)) = sin (90° – \(\frac{\mathbf{A}}{2}\))
sin(\(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\)) = cos \(\frac{\mathbf{A}}{2}\)

ప్రశ్న26.
సిద్దూ భూమి నుండి 6 మీ. ఎత్తు గల భవనంపై నుండి భూమిపై నున్న ఒక లక్ష్యాన్ని 60° నిమ్న కోణంలో బాణంతో ఛేదించాలనుకున్నాడు. సిద్దూ నుండి లక్ష్యం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ?
సాధన.

పటంలో, BC = భవనం ఎత్తు = 6 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు మరియు A భూమిపై గల లక్ష్యం యొక్క స్థానము.
నిమ్నకోణము ∠CAB = 60°
AB = భూమిపై గల లక్ష్యంకు, భవనంకు మధ్య గం దూరము
ΔABC లో,
sin60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{A C}\)
⇒ AC = \(\frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{12 \sqrt{3}}{3}\) = 4√3 మీ.
∴ సిద్ధూ నుండి లక్ష్యంకు గల దూరము
AC = 4√3 మీ.

ప్రశ్న 27.
ఒక పెట్టెలో 3 నీలం, 2 తెలుపు, 4 ఎరుపు గోళీలు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా పెట్టె నుండి ఒక గోళీ తీసుకుంటే అది i) తెలుపు రంగు, ii) ఎరుపు రంగు గోళీ అగుటకు
సంభావ్యతలు లెక్కించుము.
సాధన.
పెట్టెలోని నీలం గోళీల సంఖ్య = 3
తెలుపు గోళీల సంఖ్య = 2
ఎరుపు గోళీల సంఖ్య = 4
∴ పెట్టెలోని మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 3 + 2 + 4 = 9

i) పెట్టె నుండి తెలుపు రంగు గోళీ తీయుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య W = 2
పెట్టె నుండి తెలుపు గోళీలు తీయుటకు సంభావ్యత అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య

ii) పెట్టె నుండి ఎరుపు రంగు గోళీ తీయుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య R = 4
పెట్టె నుండి ఎరుపు గోళీ తీయుటకు సంభావ్యత
P(R) = \(\frac{4}{9}\)

ప్రశ్న 28.
వర్గీకృత దత్తాంశమునకు మధ్యగతం కనుగొనుటకు సూత్రం వ్రాసి, అందలి పదాలను వివరించుము.
సాధన:
మధ్యగతము (M) = l + (\(\frac{\frac{n}{2}-c . f}{f}\)) × h
ఇందులో
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు
n = దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య
cf = మధ్యగత తరగతికి ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యము
f = మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
h = మధ్యగత తరగతి పొడవు

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) 5 – √3 ను ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన:
5 – √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాము.
∴ 5 – √3 \(\frac{a}{b}\) a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు, b ≠ 0 గా రాయవచ్చును.
– √3 = \(\frac{a}{b}\) – 5 ⇒ √3 = 5 – \(\frac{a}{b}\)
∴ √3 = \(\frac{5 b-a}{b}\)
a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{5 b-a}{b}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య. కావున √3 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √3 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున 5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.
(లేదా)

b) \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\) = cosec θ + cot θ అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21},
B = {4, 8, 12, 16, 20},
C = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} అయిన క్రింది వానిని కనుగొనుము.
i) A – B ii) A-C iii) B – C iv) B∪C
సాధన:
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
B = {4, 8, 12, 16, 20}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

i) A – B (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {3, 6, 9, 15, 18, 21}

ii) A – C (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18, 21}

iii) B – C (4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}

iv) B∪C {4, 8, 12, 16, 20}∪{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20}
(లేదా)
b) ఒక గుణశ్రేఢి యొక్క 8వ పదం 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన:
1వ పద్ధతి :
ఒక గుణశ్రేఢిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 …………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192 ⇒ a = \(\frac{192}{128}\) = \(\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a.r¹¹ = \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేఢిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴ = 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేఢిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 2⁶ × 2 = 3 × 2⁷
a₁₀ =3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 31.
a) బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4) లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలని
చూపండి.
సాధన:
బిందువులు A(7, 3); B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలు అనుకొనిన, సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని తెలుసు.
∴ అందువల్ల కర్ణాలు AC మరియు BD ల మధ్య బిందువులు సమానం కావాలి.

∴ AC మధ్యబిందువు = DB మధ్యబిందువు.
కాబట్టి బిందువులు A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయి.
(లేదా)
b) క్రింది పట్టికలో 225 విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాలం (గంటలలో) వివరాలు ఇవ్వబడినవి.

పై విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బహుళకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:

l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు = 60
h = బాహుళక తరగతి పొడవు = 20
f₁ = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 61
f₀ = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము 52
f₂ = బాహుళక తరగతికి తరువాతనున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 38
బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_1-f_0\right)}{2 f_1 \cdots\left(f_0+f_2\right)}\) × h
= 60 + \(\frac{61-52}{2 \times 61-(52+38)}\) × 20
= 60 + \(\frac{180}{32}\) = 60 + 5.625
= 65.625 గం॥
∴ విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బాహుళకము = 65.625 గం॥

ప్రశ్న 32.
a) రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణం చిన్నకోణం కన్నా 18° ఎక్కువ అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనుము.
సాధన:
పెద్ద కోణము = x; చిన్న కోణము = y అనుకుందాము. పై రెండు కోణాలు సంపూరకాలు.
x + y + 180° ………… (1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ..
x = y + 18° …………. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
y + 18° + y = 180°
2y = 180° – 18° = 162°
y = \(\frac{162}{2}\) = 81
y = 81° ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x = 81° + 18° = 99 °
సాధన x = 99 °, y = 81°
∴ పెద్ద కోణము 99°; చిన్న కోణము = 81°
2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = \(\frac{198}{2}\) = 99°
x = 99 ను (1) లో రాయగా,
99 + y = 180°
⇒ y = 180 – 99 = 81°
సాధన x = 99, y = 81
∴ పెద్ద కోణము = 99°; చిన్న కోణము = 81°.

సరి చూసుకోవడం :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
99° + 81° = 180° (సంపూరకాలు)
99° = 81° + 18°.
(లేదా)
b) బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
i) డైమండు గుర్తుగల ముఖ కార్డు
ii) ఏస్ కార్డు
iii) స్పేడ్ కారు
iv) ఎరుపు జాకి
సాధన:
పేకముక్కల కట్టలోని మొత్తం కార్డుల సంఖ్య n(S) = 52.
∴ పేక ముక్కల కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా తీసిన కార్డు

i) డైమండు గుర్తుగల ముఖకార్డు అవు సంభావ్యత
డైమండు, గుర్తు గల ముఖ కార్డుల సంఖ్య n(D) = 3

ii) ఏస్ కార్డుల సంఖ్య n(A) = 4
∴ ఏస్ కార్డు అవు సంభావ్యత
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)

iii) స్పేడ్ కార్డుల సంఖ్య n(SP) = 13
∴ స్పేడ్ కార్డు అవు సంభావ్యత P(SP) = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)

iv) ఎరుపు జాకి కార్డుల సంఖ్య n(RJ) = 2
∴ ఎరుపు జాకి అవు సంభావ్యత P(RJ) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)

ప్రశ్న 33.
a) p(x) = x² – 6x + 9 బహుపదికి తగిన రేఖాచిత్రాన్ని గీచి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన:
y = p(x) = x² – 6x + 9

p(x) = x² – 6x + 9 పరావలయం X అక్షాన్ని (3, 0) అనే ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తున్నది (స్పర్శిస్తున్నది). కాబట్టి p(x) = x² – 6x + 9 కు ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – 6x + 9 యొక్క శూన్య విలువ 3.
p(x) = x² – 6x + 9 = 0
⇒ x² – 3x – 3x + 9 = 0
⇒ x(x – 3) -3(x – 3) = 0
∴ (x – 3) (x – 3) = 0 ⇒ x – 3 = 0 (or) x – 3 = 0 ⇒ x = 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువ 3. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువ, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువతో ఏకీభవిస్తున్నది.
(లేదా)
b) 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తానికి, దాని కేంద్రం నుండి 6 సెం.మీ. దూరంలో గల బిందువు నుండి ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :
i) O కేంద్రముగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
ii) O నుండి 6 సెం.మీ. దూరంలో P గుర్తించి, OP కలిపితిని.
iii) OPను లంబ సమద్విఖండన చేయగా అది OPని M వద్ద ఖండించును. M కేంద్రంగా MO లేదా MP వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
iv) వృత్తాల ఖండన బిందువుల నుండి స్పర్శరేఖలు గీచితిని.