AP 10th Class Maths Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 2 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

విద్యార్థులకు సూచనలు :

1. 3 గంటల 15 నిమిషాలలో, 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
2. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రంలోనే వ్రాయవలెను.
3. ఈ ప్రశ్నా పత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉన్నవి.
4. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
5. అన్ని సమాధానాలు స్పష్టంగాను, గుండ్రముగా వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{7}{25}\) ను దశాంశ రూపంలో వ్యక్తపరుచుము.
జవాబు:
0.28

ప్రశ్న 2.
సమితి P = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య, x < 5} ను రోస్టర్ రూపంలో వ్రాయుము.
జవాబు:
{2, 3}

ప్రశ్న 3.
బహుపది p(x) యొక్క రేఖాచిత్రం నుండి దానికి గల శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనుము.

జవాబు:
3

ప్రశ్న 4.
గుణశ్రేఢి 25, -5, 1, \(\frac{-1}{5}\), …………… యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు:
\(\frac{-1}{5}\)

ప్రశ్న 5.
జతపరుచుము.
సమీకరణం
(a) x + y = 5
(b) 2x – y = 9
(c) x – y = 0

సాధన
(p) (3, 3)
(q) (1, 4)
(r) (5, 1)

సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.
(A) a → r, b → P, c → q
(B) a → P, b → q, c → r
(C) a → q, b → r, c → p
(D) a → r, b → q, c → p
జవాబు:
(C) a → q, b → r, c → p

ప్రశ్న 6.
ధృవీకరణ : Y – అక్షంపై (0, 2) ఒక బిందువు.
కారణము : Y – అక్షంపై గల ప్రతీ బిందువు Y – అక్షం నుండి ‘సున్న’ యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది. సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.
A) ధృవీకరణ మరియు కారణం రెండూ సత్యమే. కారణం, ధృవీకరణను సమర్థిస్తుంది.
B) ధృవీకరణ మరియు కారణం రెండూ సత్యమే. కానీ కారణం, ధృవీకరణను సమర్థించదు.
C) ధృవీకరణ సత్యం, కానీ కారణం అసత్యం.
D) ధృవీకరణ అసత్యం, కానీ కారణం సత్యం.
జవాబు:
A) ధృవీకరణ మరియు కారణం రెండూ సత్యమే. కారణం, ధృవీకరణను సమర్థిస్తుంది.

ప్రశ్న 7.
ప్రవచనం-I : 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. కొలతలు ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
ప్రవచనం-II : ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం ‘a’ అయితే దాని ఎత్తు √3 a అగును.
సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.
A) ప్రవచనం-I మరియు ప్రవచనం-II రెండూ సత్యమే.
B) ప్రవచనం-I మరియు ప్రవచనం-II రెండూ అసత్యమే.
C) ప్రవచనం-I సత్యం, ప్రవచనం-II అసత్యం.
D) ప్రవచనం-I అసత్యం, ప్రవచనం-II సత్యం.
జవాబు:
C) ప్రవచనం-I సత్యం, ప్రవచనం-II అసత్యం.

ప్రశ్న 8.
ఒక వృత్త వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు _____________ .
జవాబు:
సమాంతరం

ప్రశ్న 9.
ఈ కింది వానిలో సత్యం కానిది ఏది ?
A) sin (90° – θ) = cosec θ
B) sin²θ + cos²θ = 1
C) cosec θ. sin θ = 1
D) sin 90° = 1
జవాబు:
A) sin (90° – θ) = cosec θ

ప్రశ్న 10.
ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో సూర్యునితో ఊర్ధ్వకోణము 45° అయితే 5 మీ. ఎత్తుగల చెట్టు యొక్క నీడ పొడవు ఆ సమయంలో _____________ .
A) 5√3 మీ.
B) 10 మీ.
C) 5 మీ.
D) \(\frac{5}{\sqrt{3}}\) మీ.
జవాబు:
C) 5 మీ.

ప్రశ్న 11.
P(E) = 0.3, అయితే P (E కాదు) = ____________
A) 0.3
B) \(\frac{1}{3}\)
C) 0
D) 0.7
జవాబు:
D) 0.7

ప్రశ్న 12.
ఒక పౌనఃపున్య విభాజనంలో గల తరగతులు
35 – 39, 40 – 44, 45 – 49, అయితే 40 – 44 తరగతి ఎగువ హద్దు
జవాబు:
44.5

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
గణించుము : log₂ (1 + tan² 45°).
సాధన.
log₂ (1 + tan² 45°)
= log₂[1 + (1)²] [∵ tan 45° = 1]
= log₂ 2 = 1 [∵ log_a a = 1]

ప్రశ్న 14.
x² – 9 అను బహుపదికి – 3 మరియు 3 లు శూన్యాలు అగునో, కాదో పరిశీలించుము.
సాధన:
p(x) = x² – 9 అనుకొనుము.
P(-3) = (-3)² – 9 = 9 – 9 = 0
∴ -3 బహుపదికి శూన్యము అగును.
p(x) = x² – 9
p(3) = 3² – 9 = 9 – 9 – 0
∴ 3 బహుపదికి శూన్యము అగును.

మరొక పద్ధతి :
బహుపది శూన్య విలువలు కనుగొనుట కొరకు
p(x) = 0 అనుకొనుము.
x² – 9 = 0
x² – 3² = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x + 3 = 0 (లేదా) x – 3 = 0
x = – 3 (లేదా) X = 3
∴ – 3, 3 లు బహుపది x² – 9 కి శూన్యాలు అగును.

ప్రశ్న 15.
“రెండు సంఖ్యల మొత్తం 82 మరియు వాటి భేదం 38.” ఈ సమాచారాన్ని ‘x, y ‘ చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతగా వ్యక్తపరుచుము.
సాధన:
మొదటి సంఖ్య = x
రెండవ సంఖ్య = y అనుకొనుము.
i) రెండు సంఖ్యల మొత్తము 82
∴ x + y = 82

ii) రెండు సంఖ్యల భేదం 38
∴ x – y = 38 [లేదా y – x = 38]

ప్రశ్న 16.
R(2, y) మరియు S(x, 3) అనే రెండు బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ యొక్క వాలు 2 అయితే ‘x’ మరియు ‘y’ ల సంబంధాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
R = (2, y), S = (x, 3)
(x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) బిందువులను కలుపు
రేఖ వాలు = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
RS రేఖ వాలు = 2
∴ \(\frac{3-y}{x-2}\) = 2
⇒ 3 – y = 2x – 4 ⇒ 2x + y – 4 – 3 = 0
∴ 2x + y – 7 = 0

ప్రశ్న 17.
సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC లో లంబకోణము C వద్ద కలదు. అయిన AB² = 2AC² అని చూపండి.
సాధన:

ΔABC లో ∠C = 90° మరియు AC = BC
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AB² = AC² + BC²
AB² = AC² + AC² (∵ AC = BC)
AB² = 2AC²

ప్రశ్న 18.
R అనే బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తం మీదకు గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవు 24 సెం.మీ. మరియు వృత్తకేంద్రం నుండి R బిందువుకు గల దూరం 25 సెం.మీ. అయిన ఆ వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన:

ΔOAR లో
\(\overline{\mathrm{OA}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{AR}}\) .. ∠OAR = 90°
OR² = OA² + AR²
25² = OA² + 24²
OA² = 25² – 24² = 625 – 576
OA² = 49
OA = 7 సెం.మీ.
వృత్త వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 19.
ఒక వ్యక్తి ‘α’ ఊర్ధ్వ కోణంతో ఒక గాలిపటాన్ని ఎగురవేస్తున్నాడు. గాలిపటాన్ని ‘l’ పొడవు గల దారంతో ఎగురవేస్తున్నాడు. ఈ సందర్భానికి ఒక చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\frac{x}{5}\), x, \(\frac{x}{4}\) \(\frac{x}{2}\), \(\frac{x}{3}\) అనే పరిశీలనాంశాల మధ్యగతం 7. ‘x’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
పరిశీలనాంశాల ఆరోహణ క్రమం \(\frac{x}{5}\), \(\frac{x}{4}\), \(\frac{x}{3}\), \(\frac{x}{2}\), x.
మధ్యగతం = \(\frac{x}{3}\) = 7
x = 21

విభాగం – III (8 × 4 = 32)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
క్రింది సమితులు సమానం అని చూపుము.
i) A = {x : x అనేది ‘FOLLOW’ అనే పదంలో ఒక అక్షరం}
ii) B = {x : x అనేది ‘FLOW’ అనే పదంలో ఒక అక్షరం}
iii) C = {x : x అనేది ‘WOLF’ అనే పదంలో ఒక అక్షరం}
సాధన:
i) A = {x : x అనేది ‘FOLLOW’ అనే పదంలో ఒక అక్షరం}
∴ A = {F, L, O, W} ……. (1)

ii) B = {x : x అనేది ‘FLOW’ అనే పదంలో ఒక అక్షరం}
∴ B = {F, L, O, W} ……. (2)

iii) C = {x : x అనేది ‘WOLF” అనే పదంలో ఒక
అక్షరం}
∴ C = {F, L, O, W} ……. (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి సమితులు A, B మరియు C లలోని మూలకాలు
సమానం.
∴ A = B = C

ప్రశ్న 22.
3, 8, 13, 18, ……… అంకశ్రేఢిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన:
ఇచ్చట a = 3
d = 8 – 3 = 5
మరియు a_n = 78
a_n = a + (n – 1) d
78 = 3 + (n – 1) 5
78 – 3 = (n – 1) 5
75 = (n – 1) 5
n – 1 15 ⇒ n = 16
∴ అంకశ్రేఢిలో 16వ పదం 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 23.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షా లయిన x, y ల విలువలు కనుగొనుము.
సాధన:
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు. కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. కావున సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణముల మధ్య బిందువులు సమానం.

∴ (\(\frac{1+x}{2}\), \(\frac{2+6}{2}\)) = (\(\frac{4+3}{2}\), \(\frac{y+5}{2}\))
\(\frac{1+x}{2}\) = \(\frac{4+3}{2}\)
1 + x = 7 ⇒ x = 7 – 1 ⇒ x = 6
మరియు \(\frac{2+6}{2}\) = \(\frac{y+5}{2}\)
\(\frac{8}{2}\) \(\frac{y+5}{2}\)
y + 5 = 8 ⇒ y = 8 – 5 ⇒ y = 3
∴ x = 6, y = 3

ప్రశ్న 24.
25 మీ. పొడవు గల ఒక నిచ్చెన, గోడపై 24 మీ. ఎత్తున ఒక కిటికీని తాకుచున్నది. అయిన నిచ్చెన అడుగు భాగము నేలపై గోడ నుండి ఎంత దూరములో ఉన్నది ?
సాధన:
ΔABC లో, ∠C = 90°

AB = నిచ్చెన పొడవు = 25 మీ.
AC = కిటికీ ఎత్తు = 24 మీ.
పైథాగరస్ సిద్దాంతము ప్రకారము,
AB² = AC² + BC²
25² = 24² + BC²
BC² = 25² – 24²
= (25 + 24) (25 – 24)
= 49 × 1 = 7²
∴ BC = 7మీ.
∴ కావున నిచ్చెన అడుగుభాగము నేలపై గోడ నుండి 7 మీ. దూరములోనున్నది.

ప్రశ్న 25.
tan θ = \(\frac{5}{12}\) అయితే sec θ మరియు cosec θ లను కనుగొనుము.
సాధన:

∴ కోణం θ ఎదుటి భుజం 5k
∴ BC = 5k
మరియు AC = 12k
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ΔABC లో
AB²= AC² + BC²
= (12k)² + (5k)²
= 144k² + 25k²
= 169k²
= (13k)²
∴ AB = 13k,
Cosec θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{13 k}{5 k}\) = \(\frac{13}{5}\)
sec θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) = \(\frac{13 k}{12 k}\) = \(\frac{13}{12}\)

ప్రశ్న 26.
భూమిపై ఒక టవర్ నిటారుగా నిలిచి ఉంది. ఆ టవర్ అడుగు నుండి 15 మీ.ల దూరం నుండి ఆ టవర్పై కొన 45° ఊర్థ్వకోణంతో పరిశీలించబడింది. ఆ టవర్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన:

పటం నుండి, త్రిభుజం ABC లో.
BC = టవర్ నుండి దూరం = 15m,
ఊర్ధ్వకోణం = ∠C = 45°
టవర్ ఎత్తు AB = h మీటర్లు అనుకొనగా
∴tan 45° = \(\frac{\mathrm{h}}{15}\)
⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{h}}{15}\)
⇒ h = 15 మీ.
∴ టవర్ ఎత్తు = 15 మీ.

ప్రశ్న 27.
ఒక పాచికను ఒక్కసారి దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానములతో క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనుము.
i) ప్రధాన సంఖ్య
ii) 1 మరియు 5 ల మధ్య సంఖ్య
సాధన:
పాచికను ఒకసారి దొర్లించినట్లయితే ప్రతిరూప ఆవరణం
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6
i) ప్రధాన సంఖ్యను పొందు ఘటనను ‘E’ అనుకుంటే
E కు అనుకూల పర్యవసానాలు
E = {2, 3, 5}
n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

ii) 1 మరియు 5 ల మధ్య ఒక సంఖ్య వచ్చు ఘటనను
‘F’ అనుకుంటే
F కు అనుకూల పర్యవసానాలు
F = {2, 3, 4}
n(F) = 3
∴ P(F) = \(\frac{n(F)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 28.
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘బాహుళకం’ ను కనుగొనుటకు సూత్రం వ్రాసి, అందలి పదాలను వివరించుము.
సాధన:
బాహుళకము = l + [latex]\frac{\mathrm{f}_1-\mathrm{f}_0}{2 \mathrm{f}_1-\mathrm{f}_0-\mathrm{f}_2}[/latex] × h
ఇచ్చట,
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు
h = బాహుళక తరగతి పొడవు
f₁ = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f₀ = బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f₂ = బాహుళక తరగతికి తరువాతనున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము.

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము.
సాధన:
√3 అకరణీయ సంఖ్య అనుకొనుము.
ఇది అకరణీయ సంఖ్య అయితే r మరియు s (s ≠ 0)
అనే రెండు పూర్ణసంఖ్యలు √3 = \(\frac{r}{s}\) అయ్యేటట్లు వ్యవస్థితం అవుతుంది.
ఒకవేళ ‘r’ మరియు ‘S’ లకు 1 కాకుండా ఏదైనా సామాన్య కారణాంకం ఉంటే, ఆ సామాన్య కారణాంకం
చేత భాగిస్తే మనకు √3 = \(\frac{a}{b}\)
ఇందులో ‘a’ మరియు ‘b’ లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
దీని నుండి b√3 = a అవుతుంది.
ఇరువైపులా వర్గం చేసి క్రమంలో అమర్చగా
3b² = a²
∴ a² ను 3 భాగిస్తుంది.
⇒ a ను 3 భాగిస్తుంది.
అందుచేత మనం తిరిగి a = 3c, c అనేది ఒక పూర్ణ సంఖ్యగా రాయవచ్చు.
3b² = a² లో ‘a’ విలువను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ 3b² = 9c²
అంటే ⇒ b² = 3c²
అంటే b² ను 3 భాగిస్తుంది.
⇒ b ను 3 భాగిస్తుంది.
అందువలన ‘a’ మరియు ‘b’ లకు 3 ఒక సామాన్య కారణాంకం అవుతుంది.
కాని ‘a’, b’ లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మన ప్రతిపాదన √3 అనేది అకరణీయం అనే భావన విరుద్ధతకు దారితీస్తుంది.
కనుక √3 కరణీయ సంఖ్య.
(లేదా)
b) sec θ + tan 6 = p అయితే sine = \(\) అని నిరూపించుము.
సాధన:
sec θ + tan θ = p …………… (1)
sec² θ – tan² θ = 1 (సర్వ సమీకరణం)
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ (sec θ – tan θ) = \(\frac{1}{p}\) ……………… (2)
సమీకరణం (1), (2) లను కూడగా

sec θ = \(\frac{\mathrm{p}^2+1}{2 \mathrm{p}}\) …………. (3)
సమీకరణం (1) నుండి (2) ను తీసివేయగా

నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 30.
a) A = (2, 3, 4, 5, 6), B = {1, 3, 5, 7},
C = (2, 4, 6, 8), D= (2, 3, 5, 7) అయితే ఈ క్రింది వానిని కనుగొనుము.
i) A∪B
ii) B∩D
iii) C∩D
iv) D – A
సాధన:
A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7}
C = {2, 4, 6, 8}, D = {2, 3, 5, 7}

(i) A∪B = {2, 3, 4, 5, 6}∪{1, 3, 5, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 1, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(ii) B∩D= {1, 3, 5, 7}∩{2, 3, 5, 7}
= {3, 5, 7}

(iii) C∩D = {2, 4, 6, 83}∩{2, 3, 5, 7} = {2}

(iv) D – A = {2, 3, 5, 7} – {2, 3, 4, 5, 6} = {7}
(లేదా)
b) x, x + 2, x+6 లు ఒక గుణశ్రేఢిలో మూడు వరుస పదాలైన ‘x’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన. x, x + 2, x + 6 లు గుణశ్రేఢిలో మూడు వరుస పదాలు అని ఇవ్వబడినవి.
సామాన్య నిష్పత్తి = \(\frac{a_2}{a_1}\) = \(\frac{a_3}{a_2}\)
⇒ \(\frac{x+2}{x}\) = \(\frac{x+6}{x+2}\)
⇒ (x + 2)² = x (x + 6)
⇒ x² + 4x + 4 = x² + 6x
⇒ 4 = 6x – 4x
⇒ 4 = 2x
⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
∴ x యొక్క విలువ = 2

ప్రశ్న 31.
a) (7, – 2), (5, 1), (3, k) బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే ‘k’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు A (7, – 2), B (5, 1), C (3, k) అనుకొనుము.
ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు అని ఇవ్వబడింది. కనుక A, B, C బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ‘సున్న’ అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)│x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂) |

ΔABC వైశాల్యం
⇒ \(\frac{1}{2}\)|7(1 – k) + 5(k – (- 2)) + 3(- 2 – 1)| = 0
⇒ 7(1 – k) + 5(k + 2) + 3(- 3) = 0
⇒ 7 – 7k + 5k + 10 – 9 = 0
⇒ – 2k + 8 = 0
⇒ – 2k = -8
⇒ k = \(\frac{-8}{-2}\) = 4
∴ k = 4
రెండవ పద్ధతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (7, – 2), B(5, 1), C(3, k) అనుకొనుము.
ఈ బిందువులు సరేఖీయాలైతే
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) వాలు (లేదా \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) వాలు) అగును.
(x₁, y₁) (x₂, y₂) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
= \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
A(7, – 2), B(5, 1) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
= \(\frac{1-(-2)}{5-7}\) = \(\frac{1+2}{-2}\) = \(\frac{-3}{2}\)
B(5, 1), C(3, k) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
= \(\frac{k-1}{3-5}\) = \(\frac{\mathrm{k}-1}{-2}\) = \(\frac{1-\mathrm{k}}{2}\)
వాలులు సమానం కనుక
= \(\frac{-3}{2}\) = \(\frac{1-\mathrm{k}}{2}\)
⇒ 3 = 1 – k
⇒ k – 3 = 1
⇒ k = 1 + 3 = 4
k = 4
(లేదా)
b) ఒక ఆవాస ప్రాంతంలోని 30 కుటుంబాలకు సంబంధించిన దినసరి భోజన ఖర్చుల వివరాలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడినవి.

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన:

సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = A + \(\frac{\Sigma \mathfrak{f}_i u_i}{\Sigma \mathrm{f}_i}\) × h
ఇక్కడ A = ఊహించిన అంకగణితపు సగటు = 225
Σf_iu_i = – 1; Σf_i = 30 ; h = 50
∴ \(\overline{\mathrm{X}}\) = 225 + \(\frac{(-1)}{30}\) × 50
= 225 – \(\frac{1 \times 5}{3}\)
= 225 – 1.67
= 222.33 (సుమారుగా)
సగటు భోజన ఖర్చు = ₹ 223.33

ప్రశ్న 32.
a) 5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తము వెల రూ. 95. అలాగే 7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తము వెల (అవే రకం) రూ. 85 అయిన ప్రతి పెన్సిల్ మరియు కలము వెల కనుగొనుము.
సాధన:
పెన్సిల్ ఖరీదు = ₹ x (అనుకొనుము)
కలము ఖరీదు = ₹ y (అనుకొనుము)
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తము వెల = ₹ 95
5x + 7y = 95 _____ (1)
7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తము వెల = ₹ 85
7x + 5y = 85 _____ (2)

У = \(\frac{240}{24}\) = 10
y = 10 ను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
5x + 7(10) = 95
5x + 70 = 95
5x = 25 ⇒ x = \(\frac{25}{5}\) = 5
పెన్సిల్ ఖరీదు = ₹ 5
కలము ఖరీదు = ₹ 10
(లేదా)
b) బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతలు లెక్కించుము.
i) నలుపు రాజు
ii) ముఖ కార్డు
iii) స్పేడ్
iv) హృదయం గుర్తు కాని కార్డు
సాధన:
బాగుగా కలుపబడి (52) పేకముక్కల కట్ట నుండి
ఒక కార్డు తీయు ప్రయోగంలో సాధ్యమయ్యే అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 52

ఘటన i) : నలుపు రాజు కార్డు అగుటకు గల ఘటనను E₁ అనుకొనిన
E₁ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E₁) = 2
P(E₁) = \(\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{E}_1\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\).

ఘటన ii) : ముఖకార్డు అగుటకు గల ఘటనను E₂ అనుకొనిన
E₂ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E₂) = 12
P(E₂) = \(\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{E}_2\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\).

ఘటన iii) : స్పేడ్ కార్డు అగుటకు గల ఘటనను E₃ అనుకొనిన
E₃ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య, n(E₃) = 13
P(E₃) = \(\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{E}_3\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\).

ఘటన iv) : హృదయం గుర్తు కాని కార్డు అగుటకు గల ఘటనను E₄ అనుకొనిన
E₄ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E₄) = 39
\(\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{E}_4\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{39}{52}\) = \(\frac{3}{4}\).

ప్రశ్న 33.
a) p(x) = x² – 3x – 4 అను బహుపదికి తగిన రేఖాచిత్రాన్ని గీసి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన. y = x² – 3x – 4 అనుకొనుము
y = x² – 3x – 4 గీయుటకు బిందువులను కనుగొనుము.
y = x² – 3x – 4


పై వక్రం X – అక్షంను (- 1, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించినది.
∴ p(x) = x² – 3x – 4 నకు శూన్యాలు = – 1 మరియు 4.
(లేదా)
b) వృత్త వ్యాసార్ధము 4 సెం.మీ. మరియు రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 60° అయిన ఆ వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.
i) చిత్తుపటం

ii) ΔOAP, నుండి
sin 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\)
⇒ \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{4}{\mathrm{OP}}\)
⇒ OP = 8 cm

iii) నిర్మాణము
1) ‘O’ కేంద్రంగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
2) OP = 8 సెం.మీ. అయ్యేటట్లు P అనే బిందువును గుర్తించితిని.
3) OP యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ గీచి, M కేంద్రంగా OM లేదా MP వ్యాసార్ధంగా ఒక వృత్తం గీచితిని.
4) రెండు వృత్తాల ఖండన బిందువుల వద్దకు P నుండి రెండు స్పర్శరేఖలు గీచితిని.