AP 10th Class Maths Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Regularly solving AP 10th Class Maths Model Papers Set 1 in Telugu Medium contributes to developing problem-solving skills.

AP 10th Class Maths Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 100

సూచనలు :

1. ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో 4 విభాగాలు మరియు 33 ప్రశ్నలు ఉండును.
2. నాలుగవ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు మాత్రమే అంతర్గత ఎంపికకు అవకాశం కలదు.
3. 3 గం॥ 15 నిమిషాలలో 15 నిమిషములు ప్రశ్నాపత్రమును చదువుటకై కేటాయించబడినది.
4. అన్ని సమాధానములు మీకివ్వబడిన సమాధాన పత్రములోనే రాయవలెను.
5. అన్ని సమాధానములు స్పష్టంగాను శుభ్రంగాను వ్రాయవలెను.

విభాగం – I (12 × 1 = 12)

సూచనలు :

1. క్రింది అన్ని ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా మాటలో సమాధానము వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 1 మార్కు.

ప్రశ్న 1.
“2 కలములు మరియు 5 పెన్సిళ్ళు వెల రూ.20” ఈ సమాచారమును రేఖీయ సమీకరణముగా వ్యక్తపరుచుము.
సాధన:
2x + 5y = 20.
ఇక్కడ ఒక పెన్ను వెల = ₹x
మరియు ఒక పెన్సిలు వెల = ₹y.

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రవచనాలను తృప్తిపరచు సమాధానమును ఎన్ను కొనుము.
ప్రవచనం (A) : ఒక ఘనబహుపది యొక్క గరిష్ట శూన్యముల సంఖ్య 3.
ప్రవచనం (B) : x – 2 రేఖీయ బహుపది శూన్య విలువ ‘-2′.

i) (A) మరియు (B) రెండూ సత్యము.
ii) (A) సత్యము, (B) అసత్యము.
iii)(A) అసత్యము, (B) సత్యము.
iv) (A) మరియు (B) రెండూ అసత్యము.
సాధన:
ii) (A) సత్యము, (B) అసత్యము.

ప్రశ్న 3.
log₆ 36 విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
log₆ 36 = log₆ 6² = 2 log₆ 6 = 2(1) = 2
(∵ log_ax^m = m log_ax)

ప్రశ్న 4.
x² – 5x + 6 = 0 వర్గసమీకరణము యొక్క విచక్షణి కనుగొనుము.
సాధన:
విచక్షణి = b² – 4ac
= (-5)² – 4 (1) (6)
= 25 – 24 = 1

ప్రశ్న 5.
3 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధం, 7 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం కనుగొనుము.
సాధన:
స్థూపం వ్యాసార్థం r = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 7 సెం.మీ.
స్థూపం ఘనపరిమాణము = πr²h
– \(\frac{22}{7}\) × (3)² × 7 = \(\frac{22}{7}\) × 9 × 7 = 198 సెం. మీ.³

ప్రశ్న 6.
n(A) = 10, n(B) = 6 మరియు n (A∪B) = 12 అయిన n(A∩B) = ……………..
సాధన:
n(A) = 10, n(B) = 6 మరియు n(A∪B) = 12
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n (A∩B)
12 = 10 + 6 − n (A∩B)
n(A∩B) = 16 – 12 = 4.

ప్రశ్న 7.
సరూప పటాల జతకు రెండు వేర్వేరు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన:
i) రెండు సమబాహు త్రిభుజములు
ii) రెండు వృత్తములు

ప్రశ్న 8.
క్రింది వాటిని జతపరుచుము.
A) tan 6 = ( ) i) \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
B) cot 0 = () ii) \(\sqrt{1+\cot ^2 \theta}\)
C) cosec 0 = ( ) iii) \(\sqrt{\sec ^2 \theta-1}\)

a) A → (i), B→ (ii), C → (iii)
b) A → (ii), B → (iii), C → (i)
c) A → (iii), B → (i), C → (ii)
d) A → (ii), B → (i), C → (iii)
సాధన:
c) A → (iii), B → (i), C → (ii)

ప్రశ్న 9.
(0, 0) మరియు (4, 6) బిందువులను కలుపు రేఖ యొక్క మధ్య బిందువు ………………….
సాధన:
(0, 0) మరియు (4, 6) బిందువులను కలుపు రేఖా ఖండపు మధ్య బిందువు
= (\(\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2}\), \(\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\)) = (\(\frac{0+4}{2}\), \(\frac{0+6}{2}\))
= (\(\frac{4}{2}\), \(\frac{6}{2}\)) = (2, 3)

ప్రశ్న 10.
“ఒక వ్యక్తి ఒక చెట్టు యొక్క మొదల నుండి 10 మీ. దూరములో ఉండి ఆ చెట్టుపై భాగాన్ని 45° ఊర్ధ్వ కోణంతో పరిశీలించినాడు.” ఈ సందర్భానికి చిత్తు పటమును గీయుము.
సాధన:

BC = చెట్టు యొక్క ఎత్తు

ప్రశ్న 11.
ప్రకటన : sin 0°, cos 0°, sin 90° మరియు tan45° ల బాహుళకం ‘0’
కారణం :
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_1 x_i}{\sum f_i}\)
A) ప్రకటన, కారణం రెండూ సత్యమే. కారణం ప్రకటనని సమర్థించదు.
B) ప్రకటన, కారణం రెండూ సత్యమే. కానీ కారణం ప్రకటనని సమర్థించదు.
C) ప్రకటన సత్యం, కానీ కారణం అసత్యం.
D) ప్రకటన అసత్యం, కానీ కారణం సత్యం.
సాధన:
D) ప్రకటన అసత్యం, కానీ కారణం సత్యం.

ప్రశ్న 12.
రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలకు గీయగల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య ………………
సాధన:
0.

విభాగం – II (8 × 2 = 16)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 13.
x + 2 y = 7 మరియు 4x – ay = 10 సమీకరణాలకు సాధన లేనిచో ‘a’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
x + 2y = 7 మరియు 4x – ay – 10 సమీకరణమునకు సాధన లేదు.
∴ \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) ≠ \(\frac{c_1}{c_2}\)
x + 2y – 7 = 0, 4x – ay – 10 = 0
a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = -7
a₂ = 4, b₂ = -a, c₁ = -10
⇒ \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{2}{-a}\)
⇒ – a = 2 × 4 = 8
∴ a = -8.

ప్రశ్న 14.
ఒక పాఠశాలలో వంటగది నిర్మించుటకు ఒక ట్రక్కు ఇసుకను శంఖు ఆకారములో (పోసినది) దిగుమతి చేసినది. శంఖువు భూవ్యాసార్థం 2.7 మీ., ఎత్తు 7మీ. అయిన దిగుమతి చేసిన ఇసుక ఘనపరిమాణంను కనుగొనుము.
సాధన:
శంఖువు వ్యాసార్ధము (r) = 2.7 మీ.
ఎత్తు (h) = 7 మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac{1}{2}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (2.7)² × 7

∴ ఇసుక బరువు = 53.46 మీ³.

ప్రశ్న 15.
క్రింది సమితులను సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయుము.
i) A = {1, 8, 27, 64}
ii) B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
సాధన:
i) A = {x : x = n³, n ∈ N మరియు n < 5}
ii) B = {x : -3 ≤ x ≤ 2, x ∈ I}
(లేదా)
i) A = {x : X అనేది 65 కన్నా తక్కువైన ఘనసంఖ్య}
ii) B = {x : x అనేది – 4 మరియు 3 మధ్యగల పూర్ణసంఖ్య }

ప్రశ్న 16.
220 మరియు 40 ల గ.సా.భా.ను యూక్లిడ్ భాగహార పద్ధతిలో కనుగొనుము.
సాధన:

220 = 40 × 5 + 20
40 = 20 × 2 + 0.
∴ 220 మరియు 40 ల గ.సా.భా = 20

ప్రశ్న 17.
ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తానికి బాహ్యంలో గల ఒక రేఖకు సమాంతరముగా ఒక స్పర్శరేఖనూ, ఒక ఛేదన రేఖను గీయుము.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
tan θ = \(\frac{7}{24}\) అయిన sec θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
tan θ = \(\frac{7}{24}\)
sec² θ – tan² θ = 1
sec² θ – (\(\frac{7}{24}\))² = 1
sec² θ = 1 + \(\frac{49}{576}\) = \(\frac{576+49}{576}\) = \(\frac{625}{576}\)
sec θ = \(\sqrt{\frac{625}{576}}\) = \(\frac{25}{24}\)
(లేదా)

ప్రశ్న 19.
వర్గీకృత దత్తాంశానికి ప్రత్యక్ష పద్ధతిలో సగటు కనుగొను సూత్రమును వ్రాసి, అందలి పదములను వివరించుము.
సాధన:
అంకమధ్యమము \(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathbf{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
ఇక్కడ, f_i = పౌనఃపున్యము
x_i = తరగతి మధ్య విలువ

ప్రశ్న 20.
(0, 0), (2, 0) మరియు (1, 3) బిందువులు శీర్షములుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము (1, 1) అని చూపుము.
సాధన:
(0, 0), (2, 0) మరియు (1, 3) బిందువుల శీర్షాలు గాగల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= (\(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\), \(\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\))
= (\(\frac{0+2+1}{3}\), \(\frac{0+0+3}{3}\))
= (\(\frac{3}{3}\), \(\frac{3}{3}\) ) = (1, 1)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = (1, 1)

విభాగం – III (8 × 4 = 32)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 21.
x² + 7x + 10 అనే బహుపది శూన్యాలు కనుగొని, దాని గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడుము.
సాధన:

ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² + 7x + 10
x² + 7x + 10 = 0
x² + 5x + 2x + 10 = 0
x (x + 5) + 2 (x + 5) = 0
(x + 5) (x + 2) = 0
x + 5 = 0 లేదా x + 2 = 0
∴ x = -5 లేదా x = -2
∴ p(x) బహుపది శూన్యాలు -5 మరియు -2
α = -5, β = -2 అనుకొనుము.
శూన్యాల మొత్తం α + β = (−5) + (−2) = -7
= \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-7}{1}\) = – 7
శూన్యాల లబ్ధం αβ = (-5) (-2) = 10
= \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{10}{1}\)

ప్రశ్న 22.
కవిత రూ.8,000 తీసుకొనుటకు బ్యాంకుకు వెళ్ళినది. ఆమె క్యాషియర్ను ఆ మొత్తానికి రూ.100 మరియు రూ.500 నోట్లు మాత్రమే ఈయమని కోరినది. మొత్తము ఆమెకు 32 నోట్లు వచ్చిన, ఆమెకు ఎన్ని రూ.100 నోట్లు, ఎన్ని రూ.500 నోట్లు వచ్చినవో చెప్పగలరా ?
సాధన:
కవిత తీసుకొన్న₹ 100 నోట్ల సంఖ్య = x
₹ 500 నోట్ల సంఖ్య = y
మొత్తం నోట్ల సంఖ్య = 32
∴ x + y = 32 → (1)
ఇచ్చిన మొత్తం సొమ్ము = ₹ 8,000
∴ 100x + 500y = 8000 → (2)

x = 20 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
20 + y = 32 ⇒ y = 32 – 20 = 12
₹ 100 నోట్ల సంఖ్య x = 20
₹ 500 నోట్ల సంఖ్య y = 12

ప్రశ్న 23.
A = {x : x అనేది 6 యొక్క కారణాంకము},
B = {x : x అనేది 10 కంటే చిన్నదైన ధన సరిసంఖ్య}
అయిన (i) A∪B, (ii) A∩B, (iii) A – B లను వెన్ చిత్రము ద్వారా కనుగొనుము.
సాధన:
A = {x : x అనేది 6 యొక్క కారణాంకము}
= {1, 2, 3, 6}
B = {x : x అనేది 10 కంటే చిన్నదైన ధన సరిసంఖ్య}
= {2, 4, 6, 8}

i) A∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
ii) A∩B = {2, 6}
iii) A- B = {1, 3}

ప్రశ్న 24.
162, 54, 18, …………. గుణశ్రేఢి మరియు \(\frac{2}{81}\) , \(\frac{2}{27}\) ,\(\frac{2}{9}\)
……………… గుణశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
గుణశ్రేఢి 162, 54, 18, → (1)
a = 162, r = \(\frac{\mathrm{a}_2}{\mathrm{a}_1}\) = \(\frac{54}{162}\) = \(\frac{1}{3}\)
n వ పదము a_n = ar^{n – 1} = 162(\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
గుణశ్రేఢి \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\) ,\(\frac{2}{9}\), …… → (2)
a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{\mathrm{a}_2}{\mathrm{a}_1}\) = \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}\)
= \(\frac{2}{27}\) × \(\frac{81}{2}\) = 3
a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1}
లెక్క ప్రకారం n వ పదములు సమానము
∴ 16(\(\frac{1}{3}\))^{n – 1} = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1}
162 × \(\frac{81}{2}\) = (3^{n – 1}) × \(\frac{3^{n-1}}{1}\)
(81)² = (3^{n – 1})²
∴ 3^{n – 1} = 81 ⇒ 3^{n – 1} = 3⁴
n – 1 = 4
∴ n = 4 + 1 = 5 ⇒ n = 5

ప్రశ్న 25.
క్రింది పటములో ABCD చతురస్ర భుజము 10.5 సెం.మీ. మరియు APD, BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్చేసిన ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.
(π = \(\frac{22}{7}\) ను తీసుకొనుము).

సాధన:
చతురస్రం ABCD = 10.5 సెం.మీ.
∴ అర్ధవృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{10.5}{2}\) సెం.మీ.
షేడ్చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము = చతురస్ర వైశాల్యం – రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= (భుజము)² – 2 × \(\frac{\pi r^2}{2}\)
= (10.5)² – \(\frac{22}{7}\) (\(\frac{10.5}{2}\))²
= (10.5)² [1 – \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{4}\))
= (10.5)² [latex]\frac{6}{28}[/latex]
= 110.25 × \(\frac{3}{14}\) = 23.625 సెం.మీ ²

ప్రశ్న 26.
క్రింది వాటిని 0° మరియు 45° మధ్య త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలో తెలుపుము.
i) sin 81° + tan 75°
ii) cos 65° + cot 75°
సాధన:
i) sin 81° + tan 75°
= sin (90 – 9)° + tan (90 – 15)°
= cos 9° + cot 15°
[∵ cos (90 – θ) = sin θ cot (90 – θ) = tan θ]

ii) cos 65° + cot 75°
= cos (90 – 25)° + cot (90 – 15)°
= sin 25° + tan 15°
[∵cos (90 – θ) = sin θ cot (90 – θ) = tan θ]

ప్రశ్న 27.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించిన దాని పై ముఖంపై
i) 8
ii) 6 కంటే చిన్నదైన సంఖ్య
ii) ప్రధాన సంఖ్య
iv) సంయుక్త సంఖ్య అగు సంభావ్యతను కనుగొనుము.
సాధన.
పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు సాధ్యపడు
పర్యవసనాలు (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసనాల సంఖ్య n(S) = 6
ఘటన యొక్క సంఖ్యావత E

i) 8 పడు సంభావ్యత = 0
పాచికపై 8 పడుట అసాధ్యం ఘటన.

ii) 6 కన్నా తక్కువైన సంభావ్యత
E = { 1, 2, 3, 4, 5}, n(E) = 5
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{5}{6}\)

iii) ప్రధాన సంఖ్య E = {2, 3, 5}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

iv) సంయుక్త సంఖ్య E = {4, 6}, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 28.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB || DC. దాని కర్ణములు పరస్పరం బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి.
అయిన \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}\) = \(\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) అని చూపుము.
సాధన:
దత్తాంశము : ట్రెపీజియము ABCD లో AB II CD మరియు AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}\) = \(\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)

నిర్మాణము : EF అనురేఖను CD మరియు AB లకు సమాంతరంగా ఉంటూ ‘O’ గుండా పోవు విధంగా గీయుము.
ఉపపత్తి : ΔACDలో EO // CD కావున
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) ………….. (1) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి]
ΔABD లో, EO || AB కావున
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}}\) = \(\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BO}}\) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి]
\(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) …………….. (2) [విలోమము చేయగా]
(1), ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) ⇒ \(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\)
నిరూపించబడినది.

విభాగం – IV (5 × 8 = 40)

సూచనలు :

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 8 మార్కులు.
3. ప్రతి ప్రశ్నకు అంతర్గత ఎంపిక కలదు.

ప్రశ్న 29.
a) √2 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము
సాధన:
√2 + √5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొనుము.
√2 + √5 = \(\frac{p}{q}\) ఇక్కడ, p, q లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు q ≠ 0, p, q ∈ I
.:: √5 = \(\frac{p}{q}\) = √2
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(√5)² = (\(\frac{p}{q}\) – √5)²)

p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు అయిన \(\frac{p^2-3 q^2}{2 p q}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య, కావున √2 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం.
ఎందుకంటే √2 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అనే
సత్యానికి విరుద్ధభావన. కావున √2 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అగును.
(లేదా)
b) అంకశ్రేఢి 11, 8, 5, 2, ………… లో – 150 ఒక పదంగా ఉంటుందో, ఉండదో సరిచూడుము.
సాధన:
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 11, 8, 5, 2, ……….. లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు,
a = 11, d = a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3 మరియు
a_n = – 150
a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1) × (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
∴ n = \(\frac{164}{3}\)
అంకశ్రేఢిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య. కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున
11, 8, 5, 2, ………… అంకశ్రేఢిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 30.
a) x² + 3x – 18 = 0 వర్గసమీకరణం యొక్క మూలా లను వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.
సాధన:
x² + 3x – 18 – 0
x² + 3x = 18
x² + 2 · \(\frac{3 x}{2}\) = 18
x² + 2 · x · \(\frac{3}{2}\) = 18
(\(\frac{3}{2}\))² ని ఇరువైపులా కూడగా
x² + 2 · x · \(\frac{3}{2}\) + (\(\frac{3}{2}\))² = 18 + (\(\frac{3}{2}\))²

(లేదా).
b) 64 ఘ. సెం.మీ. ఘనపరిమాణం గల రెండు ఘనములు కలుపబడినవి. అయిన ఏర్పడిన క్రొత్త దీర్ఘఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన:
ఘనం ఘనపరిమాణము
V = a³ = 64 సెం.మీ³
⇒ a³ = (4)³ సెం.మీ³
⇒ a = 4 సెం.మీ.
రెండు సమఘనములను కలుపగా ఏర్పడిన

దీర్ఘఘనం పొడవు (1) = 8 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 4 సెం.మీ.

i) దీర్ఘఘనం ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2h (l + b)
= 2 × 4 (8 + 4)
= 96 సెం.మీ.²

ii) దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం
= 2(lb + bh + lh)
= 2 (8 × 4 + 4 × 4 + 8 × 4)
= 2 (32 + 16 + 32) = 2 × 80 = 160 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 31.
a) A(1, 1), B(7, −3), C(12, 2), D(7, 21) బిందువులు వరుసగా శీర్షములుగా గల చతుర్భుజ వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన:
చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు వరుసగా
A (1, 1), B (7, −3), C (12, 2), D (7, 21)

ΔABC వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)│x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂) |
= \(\frac{1}{2}\)| 1 (- 3 – 2) + 7 (2 – 1) + 12 [1 – (-3)] |
= \(\frac{1}{2}\)|- 5 + 7 + 48| = \(\frac{1}{2}\) |50| = 25 చ|| యూ.

ΔACD వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|1(2 – 21) + 12 (21 – 1) + 7 (1 – 2) |
= \(\frac{1}{2}\)|1 – 19 + 240 – 7| = \(\frac{1}{2}\)|214|
= 107 చ„యూ.
∴ ΔBCD చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం
= ΔABC వైశాల్యం + ΔACD వైశాల్యం
= 25 + 107 = 132 చ„యూ.
(లేదా)
b) క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన 60 రాశుల మధ్యగతం 28.5 అయిన x, y విలువలు కనుగొనుము.

సాధన:

దత్తాంశము ప్రకారము
మధ్యగతము = 28.5
∴ మధ్యగతము l + \(\frac{\left[\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right]}{\mathrm{f}}\) × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు = 20
\(\frac{n}{2}\) = \(\frac{60}{2}\) = 30
cf = సంచిత పౌనఃపున్యము = 5 + x, f = 20, h = 10
∴ మధ్యగతము
⇒ 20 + \(\frac{30-(5+x)}{20}\) × 10 = 28.5
⇒ \(\frac{30-5-x}{2}\) = 28.5 – 20 = 8.5
⇒ 25 – x = 17 ⇒ x = 25 – 17 = 8
N = 60 (ఇచ్చినది)
N = 45 + x + y
∴ 45 + x + y = 60
⇒ x + y = 60 – 45 = 15
∴ 8 + y = 15 [∵ x = 8]
y = 7
∴ x = 8, y = 7.

ప్రశ్న 32.
a) ఒక టవర్ పాదం వరకు ఒక తిన్నని (straight) రహదారి ఉంది. ఆ టవర్పై నిలబడి ఉన్న రామయ్య అనే వ్యక్తి దూరం నుండి వస్తున్న కారును 30° ల నిమ్నకోణంలో చూసాడు. సమవేగంతో వస్తున్న కారును 6 సెకండ్ల తర్వాత 60° నిమ్నకోణంలో గమనించాడు. ఈ స్థానం నుండి కారు టవర్ను చేరడానికి పట్టుకాలం ఎంత ?
సాధన:
పటం నుండి,
6 సెకండ్లలో కారు ప్రయాణించిన దూరం = AB = x మీటర్లు
టవర్ ఎత్తు CD = h మీటర్లు
కారు ప్రయాణించాల్సిన మిగిలిన దూరం BC = d మీటర్లు
AC = AB + BC = (x + d) మీటర్లు
∠PDA = ∠DAC = 30°
∠PDB = ∠DBC = 60°

ΔBCD నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}\)
√3 = \(\frac{h}{d}\) ⇒ h = √3d …………. (1)
ΔACD నుండి,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{h}{(x+d)}\) ⇒ h = \(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) …………… (2)
(1) మరియు (2)ల నుండి,
\(\frac{x+d}{\sqrt{3}}\) = √3d
x + d = 3d
x = 2d ⇒ d = \(\frac{x}{2}\)
‘x’ మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 6 సెకండ్లు
‘d’ = \(\frac{x}{2}\) మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 3 సెకండ్లు.
(లేదా)
b) బాగుగా కలుపబడిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుండి ఒక కార్డును తీసిన అది ఈ క్రింది కార్డు అగు సంభావ్యతను
కనుగొనుము.
i) నలుపు రాణి
ii) ముఖ కార్డు
iii) డైమండ్ జాకీ
iv) కళావరి
సాధన:
మొత్తం’ పేకకార్డుల సంఖ్య n(S) = 52

i) నలుపు రాణి.
పేక కట్టనుండి నలుపురాణి కార్డు తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసనాల సంఖ్య
n(Q) = 2
∴ P(Q) = \(\frac{n(Q)}{n(S)}\) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)

ii) ముఖ కార్డు
ముఖ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసనాల సంఖ్య = 12
∴ P(F) = \(\frac{n(F)}{n(S)}\) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

iii) డైమండు గుర్తు గల జాకీ
డైమండు గుర్తు గల జాకీ పొందుటకు అనుకూల పర్యవసనాల సంఖ్య = 1
∴ P(J) = \(\frac{n(J)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{52}\)

iv) కళావరు
కళావరు కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్య వసనాల సంఖ్య = 13
కళావరు కార్డు పొందు సంభావ్యత
∴ P(C) = \(\frac{n(C)}{n(S)}\) = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 33.
a) P(x) = x² – 2x – 8 బహుపది రేఖాచిత్రము గీచి, శూన్యాలు కనుగొనుము.
సాధన:
p(x) = x² – 2x – 8
y = x² – 2x – 8


ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – 2x – 8, గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని (-2, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది. కావున p(x) = x2 – 2x – 8 యొక్క శూన్యాలు – 2, 4.
(లేదా)
b) భూమి 6 సెం.మీ. మరియు దానికి గీసిన లంబము 3 సెం.మీ. వుండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును గీయుము.
ఈ త్రిభుజ భుజాలకు 1\(\frac{1}{3}\) రెట్లు అనురూప భుజాల పొడవులు కలిగి ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా వుండేటట్లు వేరొక
త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన:

నిర్మాణక్రమము
1) భూమి AB = 6 సెం.మీ., ఎత్తు DC = 3 సెం.మీ. లతో ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని గీయాలి.
2)∠AX ఒక అల్పకోణం అయ్యే విధంగా \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) గీయాలి.
3) \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) పై సమాన దూరంలో AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ అయ్యే విధంగా 4 బిందువులు A₁, A₂, A₃, A₄ లను గుర్తించాలి.
4) A₃B లను కలిపి, A₃B కి సమాంతరంగా A₄ ద్వారా గీచిన రేఖ పొడగించిన AB ని B’ వద్ద ఖండిస్తుంది.
5) BC కి సమాంతరంగా B’ ద్వారా గీచిన రేఖ పొడగించిన AC ని C’ వద్ద ఖండిస్తుంది.
6) ΔAB’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.